Conferma di svolgimento su una relazione d'ordine
Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di matematica discreta, uno degli esercizi di fine capitolo proposti dal libro è il seguente:
Sia \(\displaystyle \varrho \) la relazione su \(\displaystyle \mathbb{Z} \) definita al modo seguente per ogni \(\displaystyle a,b \in \) \(\displaystyle \mathbb{Z} \) :
In questo caso ho dimostrato che è Riflessiva perchè \(\displaystyle \exists c \in \mathbb{Z} | a=ac \) per \(\displaystyle c=1 \)
mentre ho dimostrato che non è Antisimmetrica ossia
\(\displaystyle \forall a,b \in \mathbb{Z} a\varrho b \wedge b\varrho a \Rightarrow a=b \)
perchè
\(\displaystyle \exists c|b=ac \) ed \(\displaystyle \exists c|a=bc \) ma sostituendo ottengo che \(\displaystyle b=bcc \) che è un falso
onestamente ho qualche dubbio che sia la soluzione corretta, qualcuno mi saprebbe dare un consiglio in merito ?
grazie mille
sto preparando l'esame di matematica discreta, uno degli esercizi di fine capitolo proposti dal libro è il seguente:
Sia \(\displaystyle \varrho \) la relazione su \(\displaystyle \mathbb{Z} \) definita al modo seguente per ogni \(\displaystyle a,b \in \) \(\displaystyle \mathbb{Z} \) :
\(\displaystyle a \varrho b \Leftrightarrow \exists c \in \mathbb{Z} | b=ac \)
In questo caso ho dimostrato che è Riflessiva perchè \(\displaystyle \exists c \in \mathbb{Z} | a=ac \) per \(\displaystyle c=1 \)
mentre ho dimostrato che non è Antisimmetrica ossia
\(\displaystyle \forall a,b \in \mathbb{Z} a\varrho b \wedge b\varrho a \Rightarrow a=b \)
perchè
\(\displaystyle \exists c|b=ac \) ed \(\displaystyle \exists c|a=bc \) ma sostituendo ottengo che \(\displaystyle b=bcc \) che è un falso
onestamente ho qualche dubbio che sia la soluzione corretta, qualcuno mi saprebbe dare un consiglio in merito ?
grazie mille
Risposte
"duombo":Non va bene; supponendo \(\displaystyle\exists c\in\mathbb{Z}\mid b=ac\) non puoi utilizzare di nuovo il simbolo \(\displaystyle c\)!
...mentre ho dimostrato che non è Antisimmetrica ossia
\( \displaystyle \forall a,b \in \mathbb{Z} a\varrho b \wedge b\varrho a \Rightarrow a=b \)
perchè
\( \displaystyle \exists c|b=ac \) ed \( \displaystyle \exists c|a=bc \) ma sostituendo ottengo che \( \displaystyle b=bcc \) che è un falso...
Grazie mille della risposta j18eos,
tu scrivi
sono d'accordo, errore mio, ma se provo a cambiare la denominazione del simbolo \(\displaystyle c \) in (ad esempio) \(\displaystyle x \) ottengo che \(\displaystyle xc=0 \) e anche così resta lo stesso provato che non è Antisimmetrica, è corretto?
tu scrivi
Non va bene; supponendo \( \displaystyle\exists c\in\mathbb{Z}\mid b=ac \) non puoi utilizzare di nuovo il simbolo \( \displaystyle c \)!
sono d'accordo, errore mio, ma se provo a cambiare la denominazione del simbolo \(\displaystyle c \) in (ad esempio) \(\displaystyle x \) ottengo che \(\displaystyle xc=0 \) e anche così resta lo stesso provato che non è Antisimmetrica, è corretto?
Volendo utilizzare una scrittura più leggera, otterresti:
\[
cd=1
\]
e non uguale a 0; poi sei sicuro che ti risulti asimmetrica (e non anti-simmetrica)!
\[
cd=1
\]
e non uguale a 0; poi sei sicuro che ti risulti asimmetrica (e non anti-simmetrica)!
"j18eos":
Volendo utilizzare una scrittura più leggera, otterresti:
\[
cd=1
\]
e non uguale a 0; poi sei sicuro che ti risulti asimmetrica (e non anti-simmetrica)!
sono un cretino, hai ragione è uguale a 1
e... ops, pensavo fosse uguale chiamarla cosìil mio risultato è "non asimmetrica", quindi posso dire che la relazione della traccia non è una relazione d'ordine
Esatto! 
E sulle proprietà di anti-simmetria e transitiva che mi racconti? (Giusto per esercitarti se ti và...)
E sulle proprietà di anti-simmetria e transitiva che mi racconti? (Giusto per esercitarti se ti và...)
"duombo":Non ti preoccupare; questa è una delle (poche) cose buone che mi ha insegnato il prof. di algebra 1!
... ops, pensavo fosse uguale chiamarla così...
Grazie mille
Certo che mi và, dunque...
la relazione antisimmetrica è quella che mi dice che presi 2 elementi qualsiasi a e b in un insieme, se a è in relazione con b e b è in relazione con a allora otterrò che a=b
mentre una relazione la possiamo definire transitiva, quando prendo 3 elementi di un insieme, ad esempio a, b e c e se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora ottengo che anche a è in relazione con c
e con questo spero di non aver detto scemenze, mi sono sforzato di non guardare gli appunti
Certo che mi và, dunque...
la relazione antisimmetrica è quella che mi dice che presi 2 elementi qualsiasi a e b in un insieme, se a è in relazione con b e b è in relazione con a allora otterrò che a=b
mentre una relazione la possiamo definire transitiva, quando prendo 3 elementi di un insieme, ad esempio a, b e c e se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora ottengo che anche a è in relazione con c
e con questo spero di non aver detto scemenze, mi sono sforzato di non guardare gli appunti
Faccio chiarezza: siano \(\displaystyle S\neq\emptyset\) ed \(\displaystyle\mathfrak{R}\) una relazione su di esso insieme; \(\displaystyle\mathfrak{R}\) è una relazione:
[*:4zkvnxi5] antisimmetrica se: \(\displaystyle\forall a\neq b\in S\mid a\mathfrak{R}b\Rightarrow b\not\mathfrak{R}a\);[/*:m:4zkvnxi5]
[*:4zkvnxi5] asimmetrica se: \(\displaystyle\forall a;b\in S\mid a\mathfrak{R}b;b\mathfrak{R}a\Rightarrow a=b\).[/*:m:4zkvnxi5][/list:u:4zkvnxi5]
Scritto ciò: cosa non mi hai detto sulla relazione \(\displaystyle\rho\)?
che è anche riflessiva?
Il punto è: come lo dimostri? 
dimostro che è Riflessiva perchè \(\displaystyle \exists c \in \mathbb{Z} | a=ac \) per \(\displaystyle c=1 \)
non va bene così?
non va bene così?
Ok per la proprietà riflessiva; ma le altre come le dimostri\confuti?
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