Condizioni per numero totalmente reale

[DavideGenova1]

Ciao amici! Sia $\alpha\in\mathbb{C}$ un numero complesso ottenuto appunto mediante operazioni razionali ed estrazioni di radici quadrate di elementi di $\mathbb{Q}$, sia esso cioè un elemeno che genera l'estensione semplice \(E_1(\alpha)/E_1\) tale che esista una catena di campi intermedi\[E_1(\alpha)=E_0\geq E_1\geq...\geq E_{m-1}\geq E_m=\mathbb{Q}\]dove \(E_{i-1}/E_i\) è un'estensione semplice di grado \([E_{i-1}:E_i]=2\). Direi, se non sbaglio, che tale numero sia rappresentabile con una scrittura di tipo \(\alpha=a_1\pm\sqrt{a_2}\pm\sqrt{a_3\pm\sqrt{a_4}}\pm \sqrt{a_5\pm\sqrt{a_6\pm\sqrt{a_7}}}\pm...,\forall i=1,...,k\quad a_i\in\mathbb{Q}\) per qualche $k\geq 1$, dove la somma si intende finita, ma ottenuta con varie inclusioni di radici quadrate una nell'altra.
Il fatto che $\alpha$ sia totalmente reale, che cioè ogni suo coniugato sia reale, è equivalente al fatto che cambiando il segno di ogni radice quadrata che in esso compaia si ottenga sempre un numero reale?
Se \(\alpha=a_1+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3+\sqrt{a_4}}+ \sqrt{a_5+\sqrt{a_6+\sqrt{a_7}}}+...\) allora sostituendo nelle varie posizioni possibili i $+$ con dei $-$ si ottengono i suoi coniugati?
Ho un qualche sentore che possa essere così da come tratta il problema delle costruzioni con riga e compasso Hilbert nei Fondamenti della Geometria, ma non ne sono per nulla sicuro.
$\infty$ grazie a tutti!!!

[_fabricius_1]

C'è un motivo preciso per cui il segno innanzi ad $a_1, a_2, a_3$ e in generale al primo termine di ogni radice non debba cambiare?

[DavideGenova1]

Grazie per l'intervento!!! Non ho messo alcun segno davanti alle $a_i$ perché $a_i\in\mathbb{Q}\Rightarrow -a_i\in\mathbb{Q}$ e quindi considerare $-a_i$ è considerare pur sempre un altro elemento di $\mathbb{Q}$.

[_fabricius_1]

Mi hai convinto per $a_1$, ma non per gli altri. Perché, non so, se un campo contiene $\sqrt{c+\sqrt{d}}$ allora contiene pure $\sqrt{-c+\sqrt{d}}$ ?

[DavideGenova1]

No, non è quello che volevo dire. Intendo solo dire che $\alpha$ è ottenuto tramite somme, prodotti e varie estrazioni di radici quadrate a partire da $\mathbb{Q}$, il che direi che sia equivalente alla costruzione della catena di campi $E_0\geq ...\geq\mathbb{Q}$. Mi pare poi -anche se non sono del tutto sicuro- che se un numero $\alpha$ è costruito in tal modo esso abbia una forma del tipo indicato per una particolare scelta di segni tra $\pm,\pm,\pm,...$, cioè per esempio \(\alpha=a_1+\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3-\sqrt{a_4}}+ \sqrt{a_5+\sqrt{a_6-\sqrt{a_7}}}+...\).
Hilbert, considerando un numero reale $\alpha\in\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ ottenuto a partire da $\mathbb{Q}$ tramite somme, prodotti ed estrazioni di radici quadrate, sembra identificarne l'essere totalmente reale con l'ottenimento di un numero reale per ogni inversione di segno davanti ad ogni radice quadrata che una sua scrittura contiene.
Non escludo neanche che per Hilbert fosse proprio questa la definizione di totalmente reale. Per leggere i Grundlagen direi che sia necessaria una conoscenza della storia della matematica e del suo lessico che io non ho... Nonostante questo, è una gran bella soddisfazione anche se non tutto (eufemisticamente parlando) ciò che contengono mi è chiaro.