Condizione di finitezza per gruppi

[thedarkhero]

Sia $G$ un gruppo abeliano, finitamente generato e tale che ogni elemento ha ordine finito. Allora $G$ è finito.
Provo a dimostrare questa proposizione.

Essendo $G$ finitamente generato si ha che $G=$ $EEk\inNN$.
Siccome ogni elemento di $G$ ha ordine finito, in particolare hanno ordine finito i suoi generatori, sia $m_i$ l'ordine di $g_i$ $AAi\in{1,...,k}$.
Siccome $G$ è abeliano, un generico elemento $g\inG$ si scrive nella forma $g=g_1^(alpha_1)*...*g_k^(alpha_k)$ (cioè è possibile "riordinare" tutti i fattori che lo compongono).
Usando la divisione euclidea esistono $r_i$ e $q_i$ tali che $alpha_i=m_i*q_i+r_i$ con $0<=r_i Dunque, essendo $g_i^(alpha_i)=g_i^(m_i*q_i+r_i)=g_i^(m_i*q_i)*g_i^(r_i)=(g_i^(m_i))^(q_i)*g_i^(r_i)=1*g_i^(r_i)=g_i^(r_i)$ si ha che $g=g_1^(r_1)*...*g_k^(r_k)$ con $0<=r_i Gli elementi di $G$ sono quindi al più $\prod_{i=1}^k m_i$, cioè un numero finito.

Può andare bene?

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Sì !

[thedarkhero]

Grazie!