Composizione di funzioni

[kaiz]

Avevo provato a porre questa domanda senza nessun vero aiuto, forse perché molto stupida, e volevo per questo provare a riproporla perché è un dubbio che mi tormenta da qualche tempo e non riesco a formalizzare la questione.

Siano le funzioni:

$ϕ(u,v):(u,v)→(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$

e

$p(x,y):(x,y)→(u(x,y),v(x,y))$

il pdf che stavo leggendo dice che componendole $ϕ∘p$ trovo: $ϕ(x,y)=(x,y,z(x,y))$

Le mie domande sono di base, due:

1)

chiariamo che $ϕ∘p:(x,y)→(x(u(x,y),v(x,y)),y(u(x,y),v(x,y)),z(u(x,y),v(x,y))) (*)$

mi confonde il seguente ragionamento, io so dalla ϕ che x dipende da u e v, e y anche, cioè ho un legame: $x(u,v),y(u,v) (**)$ quindi potrei scrivere che p è $(u(x(u,v),y(u,v)),v(x(u,v),y(u,v)))$.

Quindi quando compongo $ϕ∘p$ (scrivo solo il primo termine, ma per gli altri similmente) mi troverei ad avere usando la $(*)$ e sostituendo agli $(x,y)$ più interni le relazioni $(**)$ quanto segue: $ψ:=((x(u(x(u,v),y(u,v)),v(x(u,v),y(u,v))), y(...), z(...)))=(x(u,v),....,...)$ insomma ho di nuovo $x(u,v)$ e quindi comunque una ψ che dipende solo intrinsecamente da u,v: $ψ(u,v)$ dato che la dipendenza da u,v c'è per x e y. Quindi cosa ho ricavato? Un bel nulla. [mi sembra un loop]

Il discorso è abbastanza analogo in 1-D (forse più facile): se io ho $f: x->f(x)=y e g:y->g(y)=x$, allora $g∘f$ mi darà una l(x), ma siccome x è funzione di y tramite g io ho che: $g(f(g(y)))$ che è una $ h(y)$ di nuovo. Insomma anche se scrivo $g∘f(x)=l(x)$, x dipende intrinsecamente da y, quindi non capisco perché la ritengo libera.

N.B: si considerano rispettate le condizioni sui domini di composizione, compatibilità di tutti gli insiemi ecc..

2)

Mettiamo di aver capito il punto 1) grazie alle vostre gentili future spiegazioni e quindi di seguire il ragionamento dell'autore, la seconda domanda è sul punto in cui ricavo $ϕ(x,y)=(x,y,z(x,y))$: io di fatto avrei dopo la composizione: $ϕ(x,y)=(x(u(x,y),v(x,y)),y(u(x,y),v(x,y)),z(u(x,y),v(x,y)))$.

Analizziamo:

- $x(u(x,y),v(x,y))$ che è una funzione x che dipende da u e v che a loro volta dipendono da x e y, in particolare come faccio a dimostrare che in generale se ho una funzione x che dipende da $u(x,y)$ e $v(x,y)$ separatamente, è uguale alla variabile unica x?

- per quanto riguarda $z(u(x,y),v(x,y)))$, esso diventa stando al pdf: $z(x,y)$ ma come faccio a dimostrare che se ho una funzione z che dipende da $u(x,y)$ e $v(x,y)$ separatamente, è uguale a una funzione $f(x,y)$? Voglio dire: io ho qualcosa (e quel qualcosa sono u e v) che dipendono separatamente nei due "Input" della funzione z sia da x e y: $z(u(x,y),v(x,y)))$; poi mi riduco ad avere una funzione z con due input che dipendono solo da x e y: z(x,y). Tuttavia a me sembra di avere inizialmente una z(.,.) con primo ingresso che dipende da x e y assieme e secondo che dipende da x e y dato che u dipende da entrambe (x e y contemporaneamente) così come v, e poi affermo che z dipende nel primo ingresso solo da x e nel secondo solo da y, ma come si mostra che ciò è vero?

Grazie a chi mi spiegherà

[ghira1]

La funzione $x$ e la variable $x$ sono connesse in qualche modo? Lo stesso per $u$.

[kaiz]

Ci ho pensato molto, ma sai che non credo di aver colto il tuo suggerimento.

Mi verrebbe da dire che x funzione e x variabile sono connesse dal fatto che x(u,v)=x valore della variabile.

[ghira1]

"kaiz":Ci ho pensato molto, ma sai che non credo di aver colto il tuo suggerimento.

Non è un suggerimento. È una domanda. Perché gli stessi nomi sono stati riciclati?

[kaiz]

Perché la funzione x ha come immagine dei vari elementi del suo dominio i valori di x variabile