Composizione di funzioni?

[visale94]

Buongionro a tutti. So che sto per fare una domanda molto semplice ma davvero in questo momento ho un vuoto di memoria.
Tutte le definizioni che ho sempre trovato di funzione composta hanno la seguente notazione: (f∘g)(x) (dove f e g sono due funzioni in cui il codominio di f è anche il dominio di g - classica definizione di funzione composta-).
Io mi domando se, data una funzione f: A -> A (da un certo dominio a un certo codominio, che sono identici), e mi viene data (in un problema) la scrittura nella forma:
f(x) ∘ f(x)
Ha senso questa scrittura? Il dubbio che ho è se matematicamente equivalga a (f ∘ f)(x) e quindi, infine, sarebbe uguale a f(f(x)) ?

Se riesco a chiarire questa cosa avrò risolto.
Grazie mille in anticipo!

[fmnq]

Ha senso questa scrittura?

Non sempre ce l'ha. $f(x)$ è un elemento di $A$, a meno che $A$ non abbia a sua volta una operazione di composizione (per esempio, quando $A$ è a sua volta un insieme di funzioni tra due insiemi $X\to Y$).

[visale94]

"fmnq":

Ha senso questa scrittura?

Non sempre ce l'ha. $f(x)$ è un elemento di $A$, a meno che $A$ non abbia a sua volta una operazione di composizione (per esempio, quando $A$ è a sua volta un insieme di funzioni tra due insiemi $X\to Y$).

Grazie. Allora sarò più specifico.
- In realtà $f$ è un funzionale, ovvero è definito così: $(X\to X) -> (X\to X)$ (ovvero mappa funzioni in funzioni).
- Inoltre, ho che $f(x) = x$. Ovvero x è un punto fisso della mia funzione.
La domanda è: come faccio ad argomentare il fatto che $f(x) ∘ f(x)$ è equivalente a dire che ho $f(f(x))$ (o se non fosse vero, a dare un controesempio)?
Grazie

[vict85]

\(f(x)\circ f(x)\) non ha alcun senso a meno che l'insieme \(A\) non abbia definito l'operazione \(\circ\) e non è uguale a \((f\circ f)(x)\). Insomma, quella scrittura non è generalmente definita e quando lo è ha un significato diverso.

[fmnq]

Se $f : [X,X]\to [X,X]$ puoi certamente chiederti cos'è la composizione di $f(x)$ con $f(x)$, e comporre $f$ con sé stesso applicandolo poi a $x$. I due risultati saranno, in generale, diversi (prendi ad esempio la mappa identica di $[X,X]$: nel primo caso $f(x) \circ f(x)=x\circ x$, e ne secondo caso, invece, $(f\circ f)(x)=x$.