Composizione di funzioni
Stavo dimostrando che se S e T sono insiemi non vuoti e $f:S->T$ è iniettiva allora esiste $g:T->S$ tale che $g•f=\iota_S$ ($\iota_S$ è l'applicazione identica si S)
La soluzione è questa: "sia $x' in S$ allora se $g:T->S$ è così definita
- $g(y)=x'$ se $y in T-f(S)$
- $g(y)=x$ se $y in f(S)$ e $x$ è l'unico elemento di S tale che $f(x)=y$. Sì ha allora ovviamente che $g•f=\iota_S$"
Non riesco a convincermi che questa composizione mi dia l'applicazione identica. Diciamo subito che se $x in S -> f(x) in f(S)$ dunque ho subito se $g(f(x))=g(y)=x$ se $y in f(S)$. Ma con $x'$ come mi comporto? Cioè è come se non mi servisse a niente perché dovrebbe esistere $y=f(x')$ e quindi $g(f(x'))=x'$
Potreste aiutarmi?
La soluzione è questa: "sia $x' in S$ allora se $g:T->S$ è così definita
- $g(y)=x'$ se $y in T-f(S)$
- $g(y)=x$ se $y in f(S)$ e $x$ è l'unico elemento di S tale che $f(x)=y$. Sì ha allora ovviamente che $g•f=\iota_S$"
Non riesco a convincermi che questa composizione mi dia l'applicazione identica. Diciamo subito che se $x in S -> f(x) in f(S)$ dunque ho subito se $g(f(x))=g(y)=x$ se $y in f(S)$. Ma con $x'$ come mi comporto? Cioè è come se non mi servisse a niente perché dovrebbe esistere $y=f(x')$ e quindi $g(f(x'))=x'$
Potreste aiutarmi?
Risposte
Coristretta alla sua immagine, $f$ è biiettiva, quindi ha un'inversa. Fuori da questa immagine, definisci $g$ a caso (nel vero senso della parola, prendi qualsiasi elemento di $S$, manda in quell'unico elemento tutti gli elementi nel complementare di $f(S)$). Questa funzione funziona.
Perfetto quindi $x'$ è puramente arbitrario z, grazie mille
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