Composizione di funzioni
Ciao a tutti, sto cercando di finire degli esercizi e mi mancano due punti..
Date f : X → Y e g : Y → Z:
g ◦ f iniettiva implica f iniettiva? g iniettiva?
g ◦ f surgettiva implica f surgettiva? g surgettiva?
Ho fatto: g ◦ f => f iniettiva e g ◦ f => g surgettiva (che sono vere, giusto?); come posso fare gli altri due punti?
Date f : X → Y e g : Y → Z:
g ◦ f iniettiva implica f iniettiva? g iniettiva?
g ◦ f surgettiva implica f surgettiva? g surgettiva?
Ho fatto: g ◦ f => f iniettiva e g ◦ f => g surgettiva (che sono vere, giusto?); come posso fare gli altri due punti?
Risposte
Quelle che hai detto esser vere sono vere, le altre sono false. Puoi provare a costruire controesempi in piccolo, cioè con insiemi del tipo $\{1,2\}$ o $\{a,b,c\}$ e funzioncine ad hoc, oppure usare funzioni che conosci, ad esempio l'elevamento al quadrato e l'esponenziale.
Ciao ydvo 
Domanda: sei sicuro che le implicazioni che hai svolto siano vere
Se $f$ e $g$ sono entrambe iniettive/suriettive/biiettive allora $g \circ f$ sarà iniettiva/suriettiva/biiettiva. Vale il viceversa a tuo parere
Domanda: sei sicuro che le implicazioni che hai svolto siano vere
Se $f$ e $g$ sono entrambe iniettive/suriettive/biiettive allora $g \circ f$ sarà iniettiva/suriettiva/biiettiva. Vale il viceversa a tuo parere
Se $f$ è non iniettiva, $g\circ f$ è non iniettiva.
Se $g$ è non suriettiva, $g\circ f$ è non suriettiva.
Mi sembrano queste le implicazioni vere.
Se $g$ è non suriettiva, $g\circ f$ è non suriettiva.
Mi sembrano queste le implicazioni vere.
Propongo di seguito un controesempio.
$g \circ f \text{ iniettiva } \Rightarrow f (\text{o anche}g) \text{ iniettiva}$ non è vera. Si può provare ad esempio con $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+, x \mapsto x^2 + 1$ e $g: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \ln (x)$. $g \circ f = \ln (x^2 + 1)$ è iniettiva (lo si può facilmente dimostrare) ma $f$ non lo è.
$g \circ f \text{ iniettiva } \Rightarrow f (\text{o anche}g) \text{ iniettiva}$ non è vera. Si può provare ad esempio con $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+, x \mapsto x^2 + 1$ e $g: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \ln (x)$. $g \circ f = \ln (x^2 + 1)$ è iniettiva (lo si può facilmente dimostrare) ma $f$ non lo è.
Non capisco perché nel tuo controesempio $g\circ f$ sia iniettiva. $$\ln((-1)^2+1)=\ln(1^2+1).$$
In realtà ora l'ho riguardo bene e mi sono accorto che effettivamente il dominio di $g \circ f$ è $\mathbb{R}$ e non $\mathbb{R}^+$. Pertanto il controesempio non regge in quanto $g \circ f$ è iniettiva.
Se però definisco invece $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \ln(x)$ e $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+, x \mapsto x^2 + 1$ allora sì che risulta $g$ non iniettiva e $g \circ f = \ln^2(x) + 1$ iniettiva (in quanto $g \circ f$ ha come dominio $\mathbb{R}^+$ dovendo applicare prima $f$ e poi il risultato di questa a $g$).
Se però definisco invece $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \ln(x)$ e $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+, x \mapsto x^2 + 1$ allora sì che risulta $g$ non iniettiva e $g \circ f = \ln^2(x) + 1$ iniettiva (in quanto $g \circ f$ ha come dominio $\mathbb{R}^+$ dovendo applicare prima $f$ e poi il risultato di questa a $g$).
Infatti ho detto che le implicazioni vere sono:
• se $g\circ f$ iniettiva, allora $f$ iniettiva,
• se $g\circ f$ suriettiva, allora $g$ suriettiva.
• se $g\circ f$ iniettiva, allora $f$ iniettiva,
• se $g\circ f$ suriettiva, allora $g$ suriettiva.
Ok, ora mi è chiaro, grazie.
"Trilogy":
Se $f$ è non iniettiva, $g\circ f$ è non iniettiva.
Se $g$ è non suriettiva, $g\circ f$ è non suriettiva.
Mi sembrano queste le implicazioni vere.
esatto, come ho detto nel primo post
grazie per la conferma"onlyReferee":
Ciao ydvo
Domanda: sei sicuro che le implicazioni che hai svolto siano vere
Se $f$ e $g$ sono entrambe iniettive/suriettive/biiettive allora $g \circ f$ sarà iniettiva/suriettiva/biiettiva. Vale il viceversa a tuo parere
a meno di errori nella dimostrazione... penso siano quelle le implicazioni
...ma alla fine, le due implicazioni che mi mancano, come si fanno?
"Trilogy":
Quelle che hai detto esser vere sono vere, le altre sono false. Puoi provare a costruire controesempi in piccolo, cioè con insiemi del tipo $\{1,2\}$ o $\{a,b,c\}$ e funzioncine ad hoc, oppure usare funzioni che conosci, ad esempio l'elevamento al quadrato e l'esponenziale.
ok, provo. Non si possono fare "formali" invece di mostrare un controesempio? Va bene in entrambi i modi, giusto per sapere (magari sono più semplici come dici tu)
Se una cosa la dimostri, è vera! Se esibisci un controesempio, è falsa.
Hai visto un controesempio fornito da onlyReferee per quanto riguarda il fatto che $g$ non debba essere iniettiva, anche se $g\circ f$ è iniettiva.
Hai visto un controesempio fornito da onlyReferee per quanto riguarda il fatto che $g$ non debba essere iniettiva, anche se $g\circ f$ è iniettiva.
Forse ho capito cosa intendi. Vogliamo dimostrare che una delle tue implicazioni false sia falsa. Chiamiamo questa implicazione P.
Quindi la tesi è: non è vero che per ogni $f$, $g$ si ha che vale P.
La tesi è equivalente a: esistono $f$ e $g$ tali che non vale P.
Ora, magari si potrebbe provare l'esistenza di queste funzioni in maniera indiretta, ma cosa c'è di meglio di un controesempio?
Forse quella che cercavi tu è una dimostrazione di tipo non costruttivo, ma francamente a questo livello sembra un po' fuori luogo.
Quindi la tesi è: non è vero che per ogni $f$, $g$ si ha che vale P.
La tesi è equivalente a: esistono $f$ e $g$ tali che non vale P.
Ora, magari si potrebbe provare l'esistenza di queste funzioni in maniera indiretta, ma cosa c'è di meglio di un controesempio?
Forse quella che cercavi tu è una dimostrazione di tipo non costruttivo, ma francamente a questo livello sembra un po' fuori luogo.
Se \(g\circ f\) è iniettivo allora \(f\) è iniettivo e \(g|_{Im(f)}\) è iniettivo. In entrambi i casi puoi facilmente dimostrarlo per assurdo.
Se \(g\circ f\) è suriettivo allora \(g|_{Im(f)}\) è suriettivo.
Se \(g\circ f\) è suriettivo allora \(g|_{Im(f)}\) è suriettivo.
"vict85":
Se \(g\circ f\) è iniettivo allora \(f\) è iniettivo e \(g|_{Im(f)}\) è iniettivo. In entrambi i casi puoi facilmente dimostrarlo per assurdo.
Se \(g\circ f\) è suriettivo allora \(g|_{Im(f)}\) è suriettivo.
su quelle vere ci siamo, mi mancano quelle false
"Trilogy":
Forse ho capito cosa intendi. Vogliamo dimostrare che una delle tue implicazioni false sia falsa. Chiamiamo questa implicazione P.
Quindi la tesi è: non è vero che per ogni $f$, $g$ si ha che vale P.
La tesi è equivalente a: esistono $f$ e $g$ tali che non vale P.
Ora, magari si potrebbe provare l'esistenza di queste funzioni in maniera indiretta, ma cosa c'è di meglio di un controesempio?
Forse quella che cercavi tu è una dimostrazione di tipo non costruttivo, ma francamente a questo livello sembra un po' fuori luogo.
hai ragione... come potrei fare un controesempio? non mi viene in mente nulla al volo (non ne ho mai provati a fare sinceramente)
Basta che scomponi il dominio di g nell'unione disgiunta dell'immagine di f e un altro insieme.
ad esempio:
f : {1, 2} -> {0, 1, 2, 3}
g : {0, 1, 2, 3} -> {0, 1, 2} dove g(y) = [(y+1)/2]
g(f(x)) dovrebbe essere surgettiva, ma f no; giusto?
f : {1, 2} -> {0, 1, 2, 3}
g : {0, 1, 2, 3} -> {0, 1, 2} dove g(y) = [(y+1)/2]
g(f(x)) dovrebbe essere surgettiva, ma f no; giusto?
nessuno? mi manca solo il controesempio per quella surgettiva
Ciao ykdvo
Nel tuo controesempio manca la legge che definisce la funzione $f$.
Te ne propongo un altro se vuoi (puoi facilmente verificare come in questo caso $g \circ f$ sia suriettiva ma non lo sia $f$):
$$
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^2 + 1\\
g: \mathbb{R} \rightarrow [1, +\infty), x \mapsto x
$$
Nel tuo controesempio manca la legge che definisce la funzione $f$.
Te ne propongo un altro se vuoi (puoi facilmente verificare come in questo caso $g \circ f$ sia suriettiva ma non lo sia $f$):
$$
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^2 + 1\\
g: \mathbb{R} \rightarrow [1, +\infty), x \mapsto x
$$
"onlyReferee":
Ciao ykdvo
Nel tuo controesempio manca la legge che definisce la funzione $f$.
Te ne propongo un altro se vuoi (puoi facilmente verificare come in questo caso $g \circ f$ sia suriettiva ma non lo sia $f$):
$$
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^2 + 1\\
g: \mathbb{R} \rightarrow [1, +\infty), x \mapsto x
$$
Hai ragione
grazie per il controesempio! La dimostrazione sul fatto che se $g \circ f$ è iniettiva, allora f è iniettiva non mi convince più
Ho (tentato di) dimostrato che se f non è iniettiva, non lo è nemmeno la composizione: date f : X \rightarrow Y, g : Y \rightarrow Z, esistono $$x_1 \neq x_2$$ con $$f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow g(f(x_1)) = g(f(x_2))$$... mi pare ci sia qualcosa di strano..
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