Composition series di R-moduli
Ho alcuni dubbi su come ho svolto questo esercizio.
In particolare non sono sicuro di poter dire dell'esistenza delle composition series (1) e (2). Inoltre non sono sicuro di come ho dimostrato le inclusioni strette e la massimalità di (3)
Dimostra che le seguenti cosa sono vere per un \(R\)-modulo \(M\) di lunghezza finita \( l(M)\) (ovvero ammette una composition series di lunghezza finita)
1) Se esiste una "short exact sequence"
\[ 0 \to M' \to M \to M'' \to 0 \]
allora \( l(M)=l(M')+l(M'') \).
Gli altri punti li chiedo dopo.
Allora per il primo io farei cosi ma non so.
Siccome \[ (0) \ \ \ \ 0 \xrightarrow{f_1} M' \xrightarrow{f_2} M \xrightarrow{f_3} M'' \xrightarrow{f_4} 0 \]
è una short exact sequence abbiamo che per ogni \( 1 \leq i \leq 3 \) risulta \( \operatorname{im} f_i = \ker f_{i+1} \). Da cui deduciamo che \( \operatorname{im}f_1 = 0 = \ker f_2 \) dunque \(f_2\) è iniettiva. Mentre \( \operatorname{im}(f_3) = \ker f_4 = M'' \) e dunque \(f_3\) è suriettivo.
Se esistono delle composition series (e non so come dimostrare l'esistenza)
\[ (1) \ \ \ \ 0=M_0' \subsetneq M_1' \subsetneq \ldots \subsetneq M_n' = M' \]
\[ (2) \ \ \ \ 0=M_0'' \subsetneq M_1'' \subsetneq \ldots \subsetneq M_m'' = M'' \]
Allora abbiamo
\[ (1.1) \ \ \ \ f_2(0)=f_2(M_0') \subsetneq f_2(M_1') \subsetneq \ldots \subsetneq f_2(M_n') = \operatorname{im} f_2 \]
Inoltre poiché è suriettiva ammette inversa destra \( f_3^{-1} \) e dunque risulta.
\[ (2.1) \ \ \ \ \ker f_3=f_3^{-1}(0)=f_3^{-1}(M_0'') \subsetneq f_3^{-1}(M_1'') \subsetneq \ldots \subsetneq f_3^{-1}(M_m'') = f_3^{-1}(M'') = M \]
Ora siccome (0) è una short exact seaquence abbiamo che \( \operatorname{im}f_2 = \ker f_3 \) da cui deduciamo
\[ (3) \ \ \ \ 0=f_2(M_0') \subsetneq \ldots \subsetneq f_2(M_n') = \operatorname{im} f_2 = f_3^{-1}(M_0'') \subsetneq f_3^{-1}(M_1'') \subsetneq \ldots \subsetneq f_3^{-1}(M_m'') = M \]
Dobbiamo dimostrare che è una composition series. Se la dimostriamo possiamo usare il teorema di Jordan-Holder.
Pertanto rinominando (3) nel seguente modo
\[ (3) \ \ \ \ 0=N_0 \subsetneq \ldots \subsetneq N_n \subsetneq N_{n+1} \subsetneq \ldots \subsetneq N_{n+m} = M \]
dobbiamo dimostrare che che per ogni \( 1 \leq i \leq n+m \) abbiamo che \(N_{i-1} \) è massimale tra i sottomoduli di \(N_i \) e che tutte le inclusioni sono strette. O in modo equivalente tale che
Inclusioni sono strette:
Supponiamo che esista \( 1 \leq i \leq n \) tale che \( N_{i-1} = N_i \). Abbiamo allora che
\[ N_{i-1}=f_2(M_{i-1}')=f_2(M_i')=N_i \]
Siccome (1) è una composition series abbiamo che esiste \(x \in M_i' \setminus M_{i-1}' \). E dunque, siccome \( f_2(M_{i-1}')=f_2(M_i') \), esiste \(y \in M_i \) tale che \( f_2 (x) = f_2(y) \), ma per iniettività di \(f_2\) concludiamo che \(x=y \). Assurdo.
Supponiamo che esista \( n+1 \leq i \leq n+m \) tale che \( N_{i-1} = N_i \). Abbiamo allora che
\[ N_{i-1}=f_3^{-1}(M_{i-1}'')=f_3^{-1}(M_i'')=N_i \]
Da cui
\[ M_{i-1}'' =f_3(f_3^{-1}(M_{i-1}''))=f_3(f_3^{-1}(M_i''))=M_i'' \]
che è assurdo poiché \( (2) \) è una composition series.
Massimalità:
Supponiamo che esista \( 1 \leq i \leq n \) tale che \( N_{i-1} \subseteq N \subseteq N_i \), allora poiché \(f_2\) è iniettiva ammette inversa sinistra e dunque
\[M_{i-1}' = f_2^{-1}( f_2(M_{i-1}') ) \subseteq f_2^{-1}(N) \subseteq f_2^{-1}(f_2(M_{i}')) = M_{i}' \]
e dunque siccome (1) è una composition series abbiamo che \( f_2^{-1}(N) = M_{i-1}' \) oppure che \( f_2^{-1}(N) = M_{i}' \) da cui deduciamo che
che \( N_{i-1} = N\) oppure \( N_{i} = N \).
Supponiamo che esista \( n+1 \leq i \leq n+m \) tale che \( N_{i-1} \subseteq N \subseteq N_i \), allora
\[M_{i-1}'' = f_3( f_3^{-1}(M_{i-1}'') ) \subseteq f_3(N) \subseteq f_3(f_3^{-1}(M_{i}'')) = M_{i}'' \]
e dunque siccome (2) è una composition series abbiamo che \( f_3(N) = M_{i-1}'' \) oppure che \( f_3(N) = M_{i}'' \) da cui deduciamo che
che \( N_{i-1} = N\) oppure \( N_{i} = N \).
Concludiamo grazie al teorema di Holder-Jordan che ci assicura che se
\[ 0 =M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \ldots \subsetneq M_s = M \]
è una composition series di lunghezza \( l(M)=s \) e
\[ 0 =N_0 \subsetneq N_1 \subsetneq \ldots \subsetneq N_{n+m} = M \]
è una composition series di lunghezza \(l(M')+l(M'')=n+m \) allora \( s= n+m \).
In particolare non sono sicuro di poter dire dell'esistenza delle composition series (1) e (2). Inoltre non sono sicuro di come ho dimostrato le inclusioni strette e la massimalità di (3)
Dimostra che le seguenti cosa sono vere per un \(R\)-modulo \(M\) di lunghezza finita \( l(M)\) (ovvero ammette una composition series di lunghezza finita)
1) Se esiste una "short exact sequence"
\[ 0 \to M' \to M \to M'' \to 0 \]
allora \( l(M)=l(M')+l(M'') \).
Gli altri punti li chiedo dopo.
Allora per il primo io farei cosi ma non so.
Siccome \[ (0) \ \ \ \ 0 \xrightarrow{f_1} M' \xrightarrow{f_2} M \xrightarrow{f_3} M'' \xrightarrow{f_4} 0 \]
è una short exact sequence abbiamo che per ogni \( 1 \leq i \leq 3 \) risulta \( \operatorname{im} f_i = \ker f_{i+1} \). Da cui deduciamo che \( \operatorname{im}f_1 = 0 = \ker f_2 \) dunque \(f_2\) è iniettiva. Mentre \( \operatorname{im}(f_3) = \ker f_4 = M'' \) e dunque \(f_3\) è suriettivo.
Se esistono delle composition series (e non so come dimostrare l'esistenza)
\[ (1) \ \ \ \ 0=M_0' \subsetneq M_1' \subsetneq \ldots \subsetneq M_n' = M' \]
\[ (2) \ \ \ \ 0=M_0'' \subsetneq M_1'' \subsetneq \ldots \subsetneq M_m'' = M'' \]
Allora abbiamo
\[ (1.1) \ \ \ \ f_2(0)=f_2(M_0') \subsetneq f_2(M_1') \subsetneq \ldots \subsetneq f_2(M_n') = \operatorname{im} f_2 \]
Inoltre poiché è suriettiva ammette inversa destra \( f_3^{-1} \) e dunque risulta.
\[ (2.1) \ \ \ \ \ker f_3=f_3^{-1}(0)=f_3^{-1}(M_0'') \subsetneq f_3^{-1}(M_1'') \subsetneq \ldots \subsetneq f_3^{-1}(M_m'') = f_3^{-1}(M'') = M \]
Ora siccome (0) è una short exact seaquence abbiamo che \( \operatorname{im}f_2 = \ker f_3 \) da cui deduciamo
\[ (3) \ \ \ \ 0=f_2(M_0') \subsetneq \ldots \subsetneq f_2(M_n') = \operatorname{im} f_2 = f_3^{-1}(M_0'') \subsetneq f_3^{-1}(M_1'') \subsetneq \ldots \subsetneq f_3^{-1}(M_m'') = M \]
Dobbiamo dimostrare che è una composition series. Se la dimostriamo possiamo usare il teorema di Jordan-Holder.
Pertanto rinominando (3) nel seguente modo
\[ (3) \ \ \ \ 0=N_0 \subsetneq \ldots \subsetneq N_n \subsetneq N_{n+1} \subsetneq \ldots \subsetneq N_{n+m} = M \]
dobbiamo dimostrare che che per ogni \( 1 \leq i \leq n+m \) abbiamo che \(N_{i-1} \) è massimale tra i sottomoduli di \(N_i \) e che tutte le inclusioni sono strette. O in modo equivalente tale che
Inclusioni sono strette:
Supponiamo che esista \( 1 \leq i \leq n \) tale che \( N_{i-1} = N_i \). Abbiamo allora che
\[ N_{i-1}=f_2(M_{i-1}')=f_2(M_i')=N_i \]
Siccome (1) è una composition series abbiamo che esiste \(x \in M_i' \setminus M_{i-1}' \). E dunque, siccome \( f_2(M_{i-1}')=f_2(M_i') \), esiste \(y \in M_i \) tale che \( f_2 (x) = f_2(y) \), ma per iniettività di \(f_2\) concludiamo che \(x=y \). Assurdo.
Supponiamo che esista \( n+1 \leq i \leq n+m \) tale che \( N_{i-1} = N_i \). Abbiamo allora che
\[ N_{i-1}=f_3^{-1}(M_{i-1}'')=f_3^{-1}(M_i'')=N_i \]
Da cui
\[ M_{i-1}'' =f_3(f_3^{-1}(M_{i-1}''))=f_3(f_3^{-1}(M_i''))=M_i'' \]
che è assurdo poiché \( (2) \) è una composition series.
Massimalità:
Supponiamo che esista \( 1 \leq i \leq n \) tale che \( N_{i-1} \subseteq N \subseteq N_i \), allora poiché \(f_2\) è iniettiva ammette inversa sinistra e dunque
\[M_{i-1}' = f_2^{-1}( f_2(M_{i-1}') ) \subseteq f_2^{-1}(N) \subseteq f_2^{-1}(f_2(M_{i}')) = M_{i}' \]
e dunque siccome (1) è una composition series abbiamo che \( f_2^{-1}(N) = M_{i-1}' \) oppure che \( f_2^{-1}(N) = M_{i}' \) da cui deduciamo che
che \( N_{i-1} = N\) oppure \( N_{i} = N \).
Supponiamo che esista \( n+1 \leq i \leq n+m \) tale che \( N_{i-1} \subseteq N \subseteq N_i \), allora
\[M_{i-1}'' = f_3( f_3^{-1}(M_{i-1}'') ) \subseteq f_3(N) \subseteq f_3(f_3^{-1}(M_{i}'')) = M_{i}'' \]
e dunque siccome (2) è una composition series abbiamo che \( f_3(N) = M_{i-1}'' \) oppure che \( f_3(N) = M_{i}'' \) da cui deduciamo che
che \( N_{i-1} = N\) oppure \( N_{i} = N \).
Concludiamo grazie al teorema di Holder-Jordan che ci assicura che se
\[ 0 =M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \ldots \subsetneq M_s = M \]
è una composition series di lunghezza \( l(M)=s \) e
\[ 0 =N_0 \subsetneq N_1 \subsetneq \ldots \subsetneq N_{n+m} = M \]
è una composition series di lunghezza \(l(M')+l(M'')=n+m \) allora \( s= n+m \).
Risposte
Per la massimalità non posso dire \( f_2( f_2^{-1} (N))=f_2^{-1}( f_2 (N)) = N \) ? Perché \( f_2 \) è solo iniettiva. E neppure per \( f_3 \) posso dire \( f_3( f_3^{-1} (N))=f_3^{-1}( f_3 (N)) = N \) perché è solo suriettiva. Vero? Se non posso allora credo che come ho fatto la massimalità sia errata.
Forse come ho fatto per dire che sono inclusioni strette va bene però.
Magari così funziona:
Sia la biiezione \[ \phi : \{ N_{i-1} \leq_{R} N \leq_{R} N_i \} \to \{ N \mid N \leq_{R} N_i / N_{i-1} \} \]
dove \( \phi : N_i \to N_i/N_{i-1} \) definita da \( m \mapsto m + N_{i-1} \) e dunque
\[ N \mapsto \phi(N) \leq_R N_i / N_{i-1} \]
Abbiamo che siccome \( M_i'/ M_{i-1}' \) è semplice (poiché \(M_{i-1}' \) è massimale in \(M_i' \)) risulta che se
\[ K \leq_{R} M_i'/ M_{i-1}' \]
allora \(K = 0 \) oppure \( K = M_i'/ M_{i-1}' \). Pertanto passando sotto l'immagine dell'applicazione indotta da \( f_2 \) risulta che
\[ \overline{f}_2 (K) \leq_{R} \overline{f}_2 \left( M_i'/ M_{i-1}'\right) \overset{??}{=} f_2(M_i')/f_2(M_{i-1}') \]
risulta che \( \overline{f}_2(K) = 0 \) oppure \( \overline{f}_2(K) = f_2(M_i')/f_2(M_{i-1}') \) dunque abbiamo che se
Non sono sicuro da qui
\[ \phi(N) \leq_{R} f_2(M_i')/f_2(M_{i-1}') = \overline{f}_2 \left( M_i'/ M_{i-1}'\right) \]
e dunque siccome \( M_i'/ M_{i-1}' \) è semplice pure (non sono sicuro) \( \overline{f}_2 \left( M_i'/ M_{i-1}'\right) \) è semplice. E dunque \( \phi(N) = 0 \) oppure \( \phi(N) = f_2(M_i')/f_2(M_{i-1}') \) da cui \( \phi^{-1}(\phi(N))= N= N_{i-1} \) oppure \(\phi^{-1}(\phi( N)) = N_{i} \).
Forse come ho fatto per dire che sono inclusioni strette va bene però.
Magari così funziona:
Sia la biiezione \[ \phi : \{ N_{i-1} \leq_{R} N \leq_{R} N_i \} \to \{ N \mid N \leq_{R} N_i / N_{i-1} \} \]
dove \( \phi : N_i \to N_i/N_{i-1} \) definita da \( m \mapsto m + N_{i-1} \) e dunque
\[ N \mapsto \phi(N) \leq_R N_i / N_{i-1} \]
Abbiamo che siccome \( M_i'/ M_{i-1}' \) è semplice (poiché \(M_{i-1}' \) è massimale in \(M_i' \)) risulta che se
\[ K \leq_{R} M_i'/ M_{i-1}' \]
allora \(K = 0 \) oppure \( K = M_i'/ M_{i-1}' \). Pertanto passando sotto l'immagine dell'applicazione indotta da \( f_2 \) risulta che
\[ \overline{f}_2 (K) \leq_{R} \overline{f}_2 \left( M_i'/ M_{i-1}'\right) \overset{??}{=} f_2(M_i')/f_2(M_{i-1}') \]
risulta che \( \overline{f}_2(K) = 0 \) oppure \( \overline{f}_2(K) = f_2(M_i')/f_2(M_{i-1}') \) dunque abbiamo che se
Non sono sicuro da qui
\[ \phi(N) \leq_{R} f_2(M_i')/f_2(M_{i-1}') = \overline{f}_2 \left( M_i'/ M_{i-1}'\right) \]
e dunque siccome \( M_i'/ M_{i-1}' \) è semplice pure (non sono sicuro) \( \overline{f}_2 \left( M_i'/ M_{i-1}'\right) \) è semplice. E dunque \( \phi(N) = 0 \) oppure \( \phi(N) = f_2(M_i')/f_2(M_{i-1}') \) da cui \( \phi^{-1}(\phi(N))= N= N_{i-1} \) oppure \(\phi^{-1}(\phi( N)) = N_{i} \).
Non lo so.... non riesco a capire se ho fatto giusto oppure no! 
Per i punti successivi invece
2) Dimostra che se \( N \subset M \) è un sottomodulo proprio allora \( l(N) < l(M) \)
Abbiamo la short exact sequence seguente
\[ 0 \xrightarrow{f} N \xrightarrow{i} M \xrightarrow{\pi} M/N \xrightarrow{g} 0 \]
Dove \(i \) è l'inclusione e \( \pi \) è la proiezione canonica (passo al quoziente) (che è suriettiva).
Infatti \( \operatorname{im} f = 0 = \ker i \),\( \operatorname{im} i = N = \ker \pi \) e \( \operatorname{im} \pi = M/N = \ker g \).
Dunque grazie al punto 1) deducamo che
\[ l(N) + l(M/N) = l(M) \]
da cui
\[ l(N) = l(M) - l(M/N) < l(M) \]
siccome se \(N \neq 0 \) e \( N \neq M \) siccome è un sottomodulo proprio allora \( M/N \neq 0 \) e \( M/N \neq M \) dunque \( l(M/N) \geq 1 \).
- Anche se non sono sicuro di come dimostrare che \( l(M/N) \geq 1 \) direi che è vero.
Per il punto 3) Usare il punto 2) per dimostrare che qualunque catena stretta di sottomoduli di \(M\) (non necessariamente una composition serie) è di lunghezza \( \leq l(M) \). Concludere che un modulo \(M\) è di lunghezza finita se e solo se \(M \) è sia Notheriano che Artiniano.
Ora per il punto 3) non ho molte idee.
Considero una catena arbitraria di sottomoduli propri
\[ 0 = M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq M_2 \subsetneq \ldots \]
Come faccio a dimostrare che è finita?
Una volta dimostrata che è finita allora avrei che
\[ 0 = M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \ldots \subsetneq M_s \subseteq M \]
e grazie al punto 2) abbiamo che \( l(M_0) < l(M_1) < \ldots < l( M_s) \leq l(M) \)
Supponiamo che \(s > l(M) \).
Siccome \( l(M_s) \geq s \) poiché la catena considerata non è una composition serie risulta che \( l(M_s) > l(M) \) ma se \( M_s = M \) oppure \( M_s = 0 \) è assurdo, dunque \( M_s \) è un sottomodulo proprio, concludiamo per il punto 2) che
\( l(M) > l(M_s) \geq s > l(M) \)
assurdo!
Da qui, concludiamo che se \( M \) è di lunghezza finita allora \(M\) è Noetheriano poiché non esiste una catena di sottomoduli stretta infinita.
Il viceversa, ovvero Noetheriano impiica \(M\) di lunghezza finita è evidente.
Ma con l'Artinian??
Per i punti successivi invece
2) Dimostra che se \( N \subset M \) è un sottomodulo proprio allora \( l(N) < l(M) \)
Abbiamo la short exact sequence seguente
\[ 0 \xrightarrow{f} N \xrightarrow{i} M \xrightarrow{\pi} M/N \xrightarrow{g} 0 \]
Dove \(i \) è l'inclusione e \( \pi \) è la proiezione canonica (passo al quoziente) (che è suriettiva).
Infatti \( \operatorname{im} f = 0 = \ker i \),\( \operatorname{im} i = N = \ker \pi \) e \( \operatorname{im} \pi = M/N = \ker g \).
Dunque grazie al punto 1) deducamo che
\[ l(N) + l(M/N) = l(M) \]
da cui
\[ l(N) = l(M) - l(M/N) < l(M) \]
siccome se \(N \neq 0 \) e \( N \neq M \) siccome è un sottomodulo proprio allora \( M/N \neq 0 \) e \( M/N \neq M \) dunque \( l(M/N) \geq 1 \).
- Anche se non sono sicuro di come dimostrare che \( l(M/N) \geq 1 \) direi che è vero.
Per il punto 3) Usare il punto 2) per dimostrare che qualunque catena stretta di sottomoduli di \(M\) (non necessariamente una composition serie) è di lunghezza \( \leq l(M) \). Concludere che un modulo \(M\) è di lunghezza finita se e solo se \(M \) è sia Notheriano che Artiniano.
Ora per il punto 3) non ho molte idee.
Considero una catena arbitraria di sottomoduli propri
\[ 0 = M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq M_2 \subsetneq \ldots \]
Come faccio a dimostrare che è finita?
Una volta dimostrata che è finita allora avrei che
\[ 0 = M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \ldots \subsetneq M_s \subseteq M \]
e grazie al punto 2) abbiamo che \( l(M_0) < l(M_1) < \ldots < l( M_s) \leq l(M) \)
Supponiamo che \(s > l(M) \).
Siccome \( l(M_s) \geq s \) poiché la catena considerata non è una composition serie risulta che \( l(M_s) > l(M) \) ma se \( M_s = M \) oppure \( M_s = 0 \) è assurdo, dunque \( M_s \) è un sottomodulo proprio, concludiamo per il punto 2) che
\( l(M) > l(M_s) \geq s > l(M) \)
assurdo!
Da qui, concludiamo che se \( M \) è di lunghezza finita allora \(M\) è Noetheriano poiché non esiste una catena di sottomoduli stretta infinita.
Il viceversa, ovvero Noetheriano impiica \(M\) di lunghezza finita è evidente.
Ma con l'Artinian??
Mi pare una maniera molto confusa di fare un esercizio classico; hai provato a vedere se è risolto sullo Stenstrom, sul Lam, altrove?
Alcune domande che fai sono strane:
Poi, per un reticolo modulare (tale è il reticolo dei sotto-oggetti di un modulo), la proprietà di essere di lunghezza finita equivale a quella di essere artiniano e noetheriano:
Alcune domande che fai sono strane:
Se esistono delle composition series (e non so come dimostrare l'esistenza)In che senso? In una ses, il termine centrale è di lunghezza finita se e solo se lo sono i termini laterali.
Poi, per un reticolo modulare (tale è il reticolo dei sotto-oggetti di un modulo), la proprietà di essere di lunghezza finita equivale a quella di essere artiniano e noetheriano:
se \( M \) è di lunghezza finita allora \(M\) è Noetheriano poiché non esiste una catena di sottomoduli stretta infinita.questo non è quello che devi dimostrare. Da un lato "lunghezza finita" deve implicare sia noetheriano che artiniano, perché non ci sono catene più lunghe di \(l(M)\). Dall'altro, se $M$ è un modulo noetheriano, prendi un sottomodulo massimale $N$; e in questo un massimale $N'$, e in $N^k$ prendi un massimale $N^{k+1}$; se $M$ è artiniano questa catena deve essere stazionaria, e non può che arrestarsi in zero; ecco, $M$ ha lunghezza finita.
Il viceversa, ovvero Noetheriano impiica \(M\) di lunghezza finita è evidente.
Ma con l'Artinian??
Ho fatto così per 1)
Consideriamo la "sequenza esatta corta"
\[ 0 \xrightarrow{f_1} M' \xrightarrow{f_2} M \xrightarrow{f_3} M'' \xrightarrow{f_4} 0 \]
E siano \( l(M') = n \) e \(l(M'') = m\) allora consideriamo le composition series
\[ (1.1) \ \ \ \ 0 = M_0' \subsetneq M_1' \subsetneq \ldots \subsetneq M_n' = M' \]
\[ (1.2) \ \ \ \ 0 = M_0'' \subsetneq M_1'' \subsetneq \ldots \subsetneq M_m'' = M'' \]
E consideriamo le catene
\[ (1.3) \ \ \ \ 0 = f_2(M_0') \subsetneq f_2(M_1') \subsetneq \ldots \subsetneq f_2(M_n') = f_2(M') = \operatorname{im} f_2 = \ker f_3 \]
\[ (1.4) \ \ \ \ \ \ker f_3 = f_3^{-1}(M_0'') \subsetneq f_3^{-1}(M_1'') \subsetneq \ldots \subsetneq f_3^{-1}(M_m'') =M \]
Abbiamo che \((1.3)\) è una composition series per \( \operatorname{im} f_2 = \ker f_2 \) siccome \(f_2\) è iniettiva e dunque è isomorfismo su \( \operatorname{im} f_2 \). La massimalità è soddisfatta poiché se \( f_2(M_i') \subset N \subset f_2(M_{i+1}') \) abbiamo che \( M_i ' \subset f_2^{-1}(N) \subset M_{i+1}' \) e per massimalità \( M_i' \subsetneq M_{i+1}' \) deduciamo che \( N = M_i' \) or \(N= M_{i+1}' \) quindi per iniettività \( f_2(N)= f_2(M_i') \) or \( f_2(N)=f_2(M_{i+1}') \). Le inclusioni strette seguono per iniettività di \(f_2\).
Notiamo che per ogni \( 0 \leq i \leq m \) abbiamo che \( \ker f_3 \subseteq f_3^{-1}(M_i'') \), dunque siccome \(f_3\) è suriettiva per il teorema di isomorfismo abbiamo che la seguente catena
\[(1.5) \ \ \ \ 0 = f_3^{-1}(M_0'')/\ker f_3 \subsetneq \ldots \subsetneq f_3^{-1}(M_m'') / \ker f_3 =M / \ker f_3 \]
è una composition serie per \( M/\ker f_3 \) siccome per ogni \( 0 \leq i \leq m \) abbiamo che \[ f_3^{-1}(M_i'') / \ker f_3 \cong M_i'' \]
In più abbiamo che \( \ker f_3 \subsetneq f^{-1}(M_{i-1}'') \subsetneq f^{-1}(M_{i}'') \) e quindi sempre il teorema di isomorfismo deduciamo che
\[ f_3^{-1}(M_{i}'') / f_3^{-1}(M_{i-1}'') \cong \left( f_3^{-1}(M_{i}'')/\ker f_3 \right) /\left( f_3^{-1}(M_{i-1}'')/\ker f_3 \right) \]
siccome \((1.5)\) è una composition series abbiamo che \( \left( f_3^{-1}(M_{i}'')/\ker f_3 \right) /\left( f_3^{-1}(M_{i-1}'')/\ker f_3 \right) \) è semplice dunque pure \(f_3^{-1}(M_{i}'') / f_3^{-1}(M_{i-1}'') \) è semplice e dunque abbiamo che
\[ (1.6) \ \ \ \ 0 = f_2(M_0') \subsetneq \ldots \subsetneq f_2(M_n')=\ker f_3 = f_3^{-1}(M_0'') \subsetneq \ldots \subsetneq f_3^{-1}(M_m'') =M \]
è una composition serie per \(M\). Grazie al Jordan-Holder's Theorem concludiamo che
\[ l(M)=n+m=l(M')+l(M'') \]
Consideriamo la "sequenza esatta corta"
\[ 0 \xrightarrow{f_1} M' \xrightarrow{f_2} M \xrightarrow{f_3} M'' \xrightarrow{f_4} 0 \]
E siano \( l(M') = n \) e \(l(M'') = m\) allora consideriamo le composition series
\[ (1.1) \ \ \ \ 0 = M_0' \subsetneq M_1' \subsetneq \ldots \subsetneq M_n' = M' \]
\[ (1.2) \ \ \ \ 0 = M_0'' \subsetneq M_1'' \subsetneq \ldots \subsetneq M_m'' = M'' \]
E consideriamo le catene
\[ (1.3) \ \ \ \ 0 = f_2(M_0') \subsetneq f_2(M_1') \subsetneq \ldots \subsetneq f_2(M_n') = f_2(M') = \operatorname{im} f_2 = \ker f_3 \]
\[ (1.4) \ \ \ \ \ \ker f_3 = f_3^{-1}(M_0'') \subsetneq f_3^{-1}(M_1'') \subsetneq \ldots \subsetneq f_3^{-1}(M_m'') =M \]
Abbiamo che \((1.3)\) è una composition series per \( \operatorname{im} f_2 = \ker f_2 \) siccome \(f_2\) è iniettiva e dunque è isomorfismo su \( \operatorname{im} f_2 \). La massimalità è soddisfatta poiché se \( f_2(M_i') \subset N \subset f_2(M_{i+1}') \) abbiamo che \( M_i ' \subset f_2^{-1}(N) \subset M_{i+1}' \) e per massimalità \( M_i' \subsetneq M_{i+1}' \) deduciamo che \( N = M_i' \) or \(N= M_{i+1}' \) quindi per iniettività \( f_2(N)= f_2(M_i') \) or \( f_2(N)=f_2(M_{i+1}') \). Le inclusioni strette seguono per iniettività di \(f_2\).
Notiamo che per ogni \( 0 \leq i \leq m \) abbiamo che \( \ker f_3 \subseteq f_3^{-1}(M_i'') \), dunque siccome \(f_3\) è suriettiva per il teorema di isomorfismo abbiamo che la seguente catena
\[(1.5) \ \ \ \ 0 = f_3^{-1}(M_0'')/\ker f_3 \subsetneq \ldots \subsetneq f_3^{-1}(M_m'') / \ker f_3 =M / \ker f_3 \]
è una composition serie per \( M/\ker f_3 \) siccome per ogni \( 0 \leq i \leq m \) abbiamo che \[ f_3^{-1}(M_i'') / \ker f_3 \cong M_i'' \]
In più abbiamo che \( \ker f_3 \subsetneq f^{-1}(M_{i-1}'') \subsetneq f^{-1}(M_{i}'') \) e quindi sempre il teorema di isomorfismo deduciamo che
\[ f_3^{-1}(M_{i}'') / f_3^{-1}(M_{i-1}'') \cong \left( f_3^{-1}(M_{i}'')/\ker f_3 \right) /\left( f_3^{-1}(M_{i-1}'')/\ker f_3 \right) \]
siccome \((1.5)\) è una composition series abbiamo che \( \left( f_3^{-1}(M_{i}'')/\ker f_3 \right) /\left( f_3^{-1}(M_{i-1}'')/\ker f_3 \right) \) è semplice dunque pure \(f_3^{-1}(M_{i}'') / f_3^{-1}(M_{i-1}'') \) è semplice e dunque abbiamo che
\[ (1.6) \ \ \ \ 0 = f_2(M_0') \subsetneq \ldots \subsetneq f_2(M_n')=\ker f_3 = f_3^{-1}(M_0'') \subsetneq \ldots \subsetneq f_3^{-1}(M_m'') =M \]
è una composition serie per \(M\). Grazie al Jordan-Holder's Theorem concludiamo che
\[ l(M)=n+m=l(M')+l(M'') \]
Per il 2) come sopra penso vada bene, correggetemi se sbaglio.
Per il 3)
Data una qualunque catena \(M_i \subseteq M \), non necessariamente una composition series
\[0 = M_0 \subsetneq \ldots \subsetneq M_n \]
Procediamo per induzione su \(l(M)\) che \( n \leq l(M) \). Se \(M=0\) allora \(l(M)=0\) e chiaramente \(n=0\). Assumendo \(l(M) = k \) vero. Dimostriamo vero per \(l(M)= k+1\). Grazie al punto 2) abbiamo che \(l(M_{n-1}) < l(M) \) siccome \(M_{n-1}\) è un sottomodulo proprio \(M\) e abbiamo pure che \( n-1 \leq l(M_{n-1}) \) per ipotesi d'induzione. Deduciamo che \(n-1 \leq l(M_{n-1}) < l(M) = k+1 \) pertanto \(n < k+2 \) da cui \(n\leq k+1 \). Questo conclude la prova.
Supponiamo \(M\) di lunghezza finita \( l(M)\) e consideriamo una catena di sottomoduli stretta
\[ 0 = M_0 \subsetneq \ldots \subsetneq M_n \subseteq M \]
dal punto precedente deduciamo che \( n \leq l(M) < \infty \) quindi
Supponendo per assurdo che non sia Noetheriano possiamo trovare una catena infinita di sottomoduli stretta
\[0= M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \ldots \subsetneq M_{l(M)} \subsetneq \ldots \]
Possiamo fermarla in e aggiungere \(M\) alla fine ottenendo quindi
\[ 0=M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \ldots \subsetneq M_{l(M)} \subsetneq M \]
e quindi la lunghezza di questa catena è \(l(M)+1 > l(M) \), contraddicendo quanto appena dimostrato. In modo simile per Artinian.
\[ M=M_0 \supsetneq M_1 \supsetneq \ldots \supsetneq M_{l(M)} \supsetneq \ldots \]
Fermiamoci e aggiungiamo 0.
\[M \supsetneq M_0 \supsetneq M_1 \supsetneq \ldots \supsetneq M_{l(M)} \supsetneq 0 \]
Ottenendo una catena di lunghezza \( > l(M) \): contraddizione!
Assumendo \(M\) sia Artinian che Noetherian. Allora \( M_0 := M \) e per \(i \geq 1 \) se \( M_{i-1} \neq 0 \) scegliamo \( M_i \subsetneq M_{i-1} \) tale che \(M_{i-1}\) è massimale \(M_i\), i.e. non esiste \(N\) tale che \(M_i \subset N \subset M_{i-1}\), questo \(M_{i-1}\) esiste poiché \(M\) è Noetherian. Poiché ogni catena ascendente si stabilizza. Per via che \(M\) è Artinian questa procedura deve fermarsi dopo un numero finito di step poiché ogni catena discendente si stabilizza. Per Holder-Jordan abbiamo che
\[ M = M_0 \supsetneq M_1 \supsetneq \ldots \supsetneq M_{l(M)} = 0 \]
rinominando \( M_k' = M_{l(M)-k} \) otteniamo
\[ 0 = M_0' \subsetneq M_1' \subsetneq \ldots \subsetneq M_{l(M)}' = M \]
E dunque \(l(M) < \infty \).
Per il 3)
Data una qualunque catena \(M_i \subseteq M \), non necessariamente una composition series
\[0 = M_0 \subsetneq \ldots \subsetneq M_n \]
Procediamo per induzione su \(l(M)\) che \( n \leq l(M) \). Se \(M=0\) allora \(l(M)=0\) e chiaramente \(n=0\). Assumendo \(l(M) = k \) vero. Dimostriamo vero per \(l(M)= k+1\). Grazie al punto 2) abbiamo che \(l(M_{n-1}) < l(M) \) siccome \(M_{n-1}\) è un sottomodulo proprio \(M\) e abbiamo pure che \( n-1 \leq l(M_{n-1}) \) per ipotesi d'induzione. Deduciamo che \(n-1 \leq l(M_{n-1}) < l(M) = k+1 \) pertanto \(n < k+2 \) da cui \(n\leq k+1 \). Questo conclude la prova.
Supponiamo \(M\) di lunghezza finita \( l(M)\) e consideriamo una catena di sottomoduli stretta
\[ 0 = M_0 \subsetneq \ldots \subsetneq M_n \subseteq M \]
dal punto precedente deduciamo che \( n \leq l(M) < \infty \) quindi
Supponendo per assurdo che non sia Noetheriano possiamo trovare una catena infinita di sottomoduli stretta
\[0= M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \ldots \subsetneq M_{l(M)} \subsetneq \ldots \]
Possiamo fermarla in e aggiungere \(M\) alla fine ottenendo quindi
\[ 0=M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \ldots \subsetneq M_{l(M)} \subsetneq M \]
e quindi la lunghezza di questa catena è \(l(M)+1 > l(M) \), contraddicendo quanto appena dimostrato. In modo simile per Artinian.
\[ M=M_0 \supsetneq M_1 \supsetneq \ldots \supsetneq M_{l(M)} \supsetneq \ldots \]
Fermiamoci e aggiungiamo 0.
\[M \supsetneq M_0 \supsetneq M_1 \supsetneq \ldots \supsetneq M_{l(M)} \supsetneq 0 \]
Ottenendo una catena di lunghezza \( > l(M) \): contraddizione!
Assumendo \(M\) sia Artinian che Noetherian. Allora \( M_0 := M \) e per \(i \geq 1 \) se \( M_{i-1} \neq 0 \) scegliamo \( M_i \subsetneq M_{i-1} \) tale che \(M_{i-1}\) è massimale \(M_i\), i.e. non esiste \(N\) tale che \(M_i \subset N \subset M_{i-1}\), questo \(M_{i-1}\) esiste poiché \(M\) è Noetherian. Poiché ogni catena ascendente si stabilizza. Per via che \(M\) è Artinian questa procedura deve fermarsi dopo un numero finito di step poiché ogni catena discendente si stabilizza. Per Holder-Jordan abbiamo che
\[ M = M_0 \supsetneq M_1 \supsetneq \ldots \supsetneq M_{l(M)} = 0 \]
rinominando \( M_k' = M_{l(M)-k} \) otteniamo
\[ 0 = M_0' \subsetneq M_1' \subsetneq \ldots \subsetneq M_{l(M)}' = M \]
E dunque \(l(M) < \infty \).
Per il 3)Perché farla tanto lunga (sebbene di lunghezza finita)? Ti ho dimostrato la cosa come è fatta nello Stenstrom...
Non ho trovato lo Stenstrom, ad ogni modo nonostante magari non siano i modi ottimali per dimostrarli e ci sono vie più immediate sono comunque corretti i punti 1) 2) e 3) ?
https://www.springer.com/gp/book/9783642660689
Sai dove reperirlo.
Per il resto, quello che chiedi (mi pare fosse la domanda 3) è un fatto puramente di teoria degli ordini, i moduli non c'entrano niente: un reticolo è noetheriano (risp., artiniano) se le catene ascendenti (risp., discendenti) sono tutte stazionarie; ora
1. Se un reticolo $L$ è noetheriano, ogni elemento \(p\in L\) tale che \(0 < p\le 1\) ammette un massimale; in astratto devi usare il lemma di Zorn, per i moduli devi dire: esiste un elemento non nullo, il sotto-modulo generato da quell'elemento o è tutto oppure esiste qualcosa fuori; così costruisci una catena ascendente, che non può che essere stazionaria e arrivare a \(p\).
2. Se un reticolo è noetheriano e artiniano, è evidente che ha lunghezza finita, per il motivo che ho detto sopra.
Perché devi impelagarti in una dimostrazione impestata se puoi evitare di toccare le cose, tra l'altro capendo anche il motivo profondo per cui è vero quel che chiedi?
Sai dove reperirlo.
Per il resto, quello che chiedi (mi pare fosse la domanda 3) è un fatto puramente di teoria degli ordini, i moduli non c'entrano niente: un reticolo è noetheriano (risp., artiniano) se le catene ascendenti (risp., discendenti) sono tutte stazionarie; ora
1. Se un reticolo $L$ è noetheriano, ogni elemento \(p\in L\) tale che \(0 < p\le 1\) ammette un massimale; in astratto devi usare il lemma di Zorn, per i moduli devi dire: esiste un elemento non nullo, il sotto-modulo generato da quell'elemento o è tutto oppure esiste qualcosa fuori; così costruisci una catena ascendente, che non può che essere stazionaria e arrivare a \(p\).
2. Se un reticolo è noetheriano e artiniano, è evidente che ha lunghezza finita, per il motivo che ho detto sopra.
Perché devi impelagarti in una dimostrazione impestata se puoi evitare di toccare le cose, tra l'altro capendo anche il motivo profondo per cui è vero quel che chiedi?
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