COMPLEMENTI DI ALGEBRA aiuto!
aiuto ragazzi sto iniziando adesso qst materia ma non so fare quasi niente 
Trovare un isomorfismo esplicito tra Z5/(x^2+2) e Z5/(x^2+3)
2- Se Fconten in K estens algebrica, F* ch alg di F, K* ch alg di K
allora K* isomorfo a F*??? e cioè??
3-chF=p e sia F conten K estensione tc {K:F}=n con p che non divide n F cont K è separabile.
Trovare un isomorfismo esplicito tra Z5/(x^2+2) e Z5/(x^2+3)
2- Se Fconten in K estens algebrica, F* ch alg di F, K* ch alg di K
allora K* isomorfo a F*??? e cioè??
3-chF=p e sia F conten K estensione tc {K:F}=n con p che non divide n F cont K è separabile.
Risposte
Caro dreamer88, dai problemi di Teoria dei Campi che posti noto con piacere che siamo colleghi di corso! Comunque:
1) Per trovare l'isomorfismo tra i due campi finiti, ti consiglio di scrivere "esplicitamente" i due campi, e cioè
$A = (ZZ_5[X])/(x^2+2) = { a+tb | a,b in ZZ_5, t^2=-2=3}$
$B = (ZZ_5[X])/(x^2+3) = { a+wb | a,b in ZZ_5, w^2=-3=2}$
questa scrittura può aiutarti molto a capire come si svolgono concretamente le operazioni nei due campi e quindi a trovare l'isomorfismo.
2) Tra le definizioni equivalenti di campo algebricamente chiuso, abbiamo che se $FsubK$ è un estensione algebrica, allora $F=K$. Nel nostro caso abbiamo:
$FsubK$ estensione algebrica,
$bar{K}$ chiusura algebrica di K e $bar{F}$ chiusura algebrica di F.
Allora K contiene F come sottocampo, da cui $bar{K}$ contiene una copia isomorfa di $bar{F}$ come sottocampo (in quanto in $bar{K}$ "aggiungiamo" tutte le soluzioni di equazioni polinomiali a coefficienti in K, in particolare di quelle a coefficienti in F). Cioè si ha
$bar{F}subbar{K}$ estensione algebrica. Ma i due campi sono algebricamente chiusi, segue che sono uguali.
EDIT: avevo dimenticato [X]
1) Per trovare l'isomorfismo tra i due campi finiti, ti consiglio di scrivere "esplicitamente" i due campi, e cioè
$A = (ZZ_5[X])/(x^2+2) = { a+tb | a,b in ZZ_5, t^2=-2=3}$
$B = (ZZ_5[X])/(x^2+3) = { a+wb | a,b in ZZ_5, w^2=-3=2}$
questa scrittura può aiutarti molto a capire come si svolgono concretamente le operazioni nei due campi e quindi a trovare l'isomorfismo.
2) Tra le definizioni equivalenti di campo algebricamente chiuso, abbiamo che se $FsubK$ è un estensione algebrica, allora $F=K$. Nel nostro caso abbiamo:
$FsubK$ estensione algebrica,
$bar{K}$ chiusura algebrica di K e $bar{F}$ chiusura algebrica di F.
Allora K contiene F come sottocampo, da cui $bar{K}$ contiene una copia isomorfa di $bar{F}$ come sottocampo (in quanto in $bar{K}$ "aggiungiamo" tutte le soluzioni di equazioni polinomiali a coefficienti in K, in particolare di quelle a coefficienti in F). Cioè si ha
$bar{F}subbar{K}$ estensione algebrica. Ma i due campi sono algebricamente chiusi, segue che sono uguali.
EDIT: avevo dimenticato [X]
Solo un commento... $(x^2+2)$ è un ideale di $\ZZ_5 [x]$ e non di $\ZZ_5$. Quindi è più corretto scrivere $\ZZ_5 [x]//(x^2+2)$.
Hai ragionissima, avevo sbagliato a scrivere.
grazie per l'aiuto...ma x l'isomorfismop di campi devo specificare i corrispondenti..no?
Si, una volta trovata l'immagine di "t" diciamo che il grosso è fatto... la verifica che l'applicazione è un isomorfismo dovrebbe essere banale.
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