Commutatività estesa ad n elementi
C'è una dimostrazione che non capisco, o meglio per me aggiunge qualcosa di superfluo, ma non essendo sicuro al 100% chiedo a voi.
la dimostrazione è questa:
\(\displaystyle G \) monoide commutativo, \(\displaystyle x_1 , x_2 , ... , x_n \) elementi di \(\displaystyle G \), sia \(\displaystyle f \) una biezione da \(\displaystyle (1, 2, ..., n) \) in se, allora:
\(\displaystyle \prod\limits_{v=1}^{n} \) \(\displaystyle x_{f(v)} = \) \(\displaystyle \prod\limits_{v=1}^{n} \) \(\displaystyle x_v \)
Per \(\displaystyle n=1 \) è ovvio, assumo vero per \(\displaystyle n-1 \).
Sia \(\displaystyle k \) un intero t.c. \(\displaystyle f(k) = n \) allora:
\(\displaystyle \prod\limits_{1}^{n} x_{f(v)} = \prod\limits_{1}^{k-1} x_{f(v)} * x_{f(k)} * \prod\limits_{1}^{n-k} x_{f(k+v)} \) e quindi (1) \(\displaystyle \prod\limits_{k=1}^{k-1} x_{f(v)} * \prod\limits_{1}^{n-k} x_{f(k+v)} * x_{f(k)} \)
per me la dimostrazione è finita qui, perchè nel passaggio (1) ho sfruttato la commutatività di un numero minore di \(\displaystyle n \) elementi.
La dimostrazione continua così:
Sia \(\displaystyle h \) una bigezione da \(\displaystyle (1, 2, ..., n-1) \) in se stessa in cui \(\displaystyle h(v)=f(v) \) se \(\displaystyle v
\(\displaystyle \prod\limits_{1}^{n} x_{f(v)} = \prod\limits_{1}^{k-1} x_{h(v)} * \prod\limits_{1}^{n-k} x_{h(k-1+v)} * x_n = \prod\limits_{1}^{n-1} x_{h(v)} * x_n \)
e si conclude. Ma per me questo ultimo passaggio e ridondante, non necessario, è vero che devo ridurmi al caso \(\displaystyle n-1 \) ma lo ho già fatto implicitamente nel passaggio (1) o sbaglio?
la dimostrazione è questa:
\(\displaystyle G \) monoide commutativo, \(\displaystyle x_1 , x_2 , ... , x_n \) elementi di \(\displaystyle G \), sia \(\displaystyle f \) una biezione da \(\displaystyle (1, 2, ..., n) \) in se, allora:
\(\displaystyle \prod\limits_{v=1}^{n} \) \(\displaystyle x_{f(v)} = \) \(\displaystyle \prod\limits_{v=1}^{n} \) \(\displaystyle x_v \)
Per \(\displaystyle n=1 \) è ovvio, assumo vero per \(\displaystyle n-1 \).
Sia \(\displaystyle k \) un intero t.c. \(\displaystyle f(k) = n \) allora:
\(\displaystyle \prod\limits_{1}^{n} x_{f(v)} = \prod\limits_{1}^{k-1} x_{f(v)} * x_{f(k)} * \prod\limits_{1}^{n-k} x_{f(k+v)} \) e quindi (1) \(\displaystyle \prod\limits_{k=1}^{k-1} x_{f(v)} * \prod\limits_{1}^{n-k} x_{f(k+v)} * x_{f(k)} \)
per me la dimostrazione è finita qui, perchè nel passaggio (1) ho sfruttato la commutatività di un numero minore di \(\displaystyle n \) elementi.
La dimostrazione continua così:
Sia \(\displaystyle h \) una bigezione da \(\displaystyle (1, 2, ..., n-1) \) in se stessa in cui \(\displaystyle h(v)=f(v) \) se \(\displaystyle v
\(\displaystyle \prod\limits_{1}^{n} x_{f(v)} = \prod\limits_{1}^{k-1} x_{h(v)} * \prod\limits_{1}^{n-k} x_{h(k-1+v)} * x_n = \prod\limits_{1}^{n-1} x_{h(v)} * x_n \)
e si conclude. Ma per me questo ultimo passaggio e ridondante, non necessario, è vero che devo ridurmi al caso \(\displaystyle n-1 \) ma lo ho già fatto implicitamente nel passaggio (1) o sbaglio?
Risposte
Nel simbolo di prodotto, quel $j-1$ non dovrebbe essere $n$?
si scusatemi correggo subito
Nel passaggio (1) viene utilizzato il fatto che $G$ è commutativo(che poi corrisponde al caso n=2)
Ad ogni modo, come puoi affermare che la dimostrazione è conclusa, se la tesi è
$ prod_(v = 1)^(n)x_f(v)=prod_(v=1)^(n)x_v $ ?
Alla fine viene omesso l'importante passaggio in cui si utilizza in maniera vera e propria l'ipotesi di induzione, cioè
$ prod_(v = 1)^(n-1)x_(h(v))=prod_(v=1)^(n-1)x_v $
Ad ogni modo, come puoi affermare che la dimostrazione è conclusa, se la tesi è
$ prod_(v = 1)^(n)x_f(v)=prod_(v=1)^(n)x_v $ ?
Alla fine viene omesso l'importante passaggio in cui si utilizza in maniera vera e propria l'ipotesi di induzione, cioè
$ prod_(v = 1)^(n-1)x_(h(v))=prod_(v=1)^(n-1)x_v $
ma quel passaggio finale non è lo stesso di (1)? Se si riscrive tutto in termini di una sola produttoria è uguale all'ultimo passaggio della dimostrazione o no?
Tu devi mostrare che \(\prod x_{fi}=\prod x_i\), e hai dimostrato che \(\prod x_{fi} = \prod_{i\neq k} x_{fi} \cdot x_{fk}\) per ogni $k$; non hai finito, ma quasi.
No. $f$ è una permutazione di ${1,...,n}$ e non di ${1,...,n-1}$. Tra l'altro, tra le due produttorie, c'è un "salto", che riguarda l'elemento $k$, e questo inconveniente viene risolto con la biezione $h$.
ok, credo di aver capito, grazie mille
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