Come verificare se una funzione è iniettiva?

[Serus]

Ciao a tutti, sono alle prese con esercizi di questo tipo:

"Esiste una funzione lineare f:R4 -> R3 che sia iniettiva? Se si, farne un esempio, se no dire perchè."

Come risolvo questa tipologia di esercizi? Ho cercato online ma non ho trovato esempi :/

[fractalius]

Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo contiene solo il vettore nullo.

[Serus]

"fractalius":Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo contiene solo il vettore nullo.

e come faccio a verificare ciò? la definizione la conosco ma non so come approcciare l'esercizio

[fractalius]

Non devi verificare niente, la proprietà che ti ho illustrato afferma che il nucleo dell'applicazione è il sottospazio banale del dominio, quindi la sua dimensione è nulla, e sapendo dal teorema di nullità più rango che data un'applicazione lineare la dimensione del suo dominio è pari alla dimensione del nucleo più la dimensione dell'immagine, hai che un'applicazione è iniettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio, in questo caso 4. E' possibile secondo te?

[Serus]

"fractalius":E' possibile secondo te?

No perchè la dimensione del dominio è 4 e quella dell'immagine è 3...giusto?

[fractalius]

Esatto (in realtà 3 è la dimensione massima possibile dell'immagine: infatti l'immagine di un'applicazione lineare è un sottospazio del codominio, e la dimensione di uno spazio vettoriale è sempre maggiore o uguale a quella di un suo qualsiasi sottospazio).

[Serus]

"fractalius":Esatto (in realtà 3 è la dimensione massima possibile dell'immagine: infatti l'immagine di un'applicazione lineare è un sottospazio del codominio, e la dimensione di uno spazio vettoriale è sempre maggiore o uguale a quella di un suo qualsiasi sottospazio).

grazie mille per la spiegazione!