Come si risolve questo esercizio su polinomio di 4° grado?
Buon giorno,
sto provando a risolvere il seguente esercizio:
A me era venuto subito in mente di applicare il criterio della radice di un numero complesso (e quindi avrei avuto 4 soluzioni) ma forse non c'entra molto, vero?
Anche perchè parla di numeri Reali!
sto provando a risolvere il seguente esercizio:
Fattorizzare il polinomio $ x^4 + 1$ nel prodotto di due polinomi di 2° grado a coefficienti reali.
A me era venuto subito in mente di applicare il criterio della radice di un numero complesso (e quindi avrei avuto 4 soluzioni) ma forse non c'entra molto, vero?
Anche perchè parla di numeri Reali!
Risposte
Si, se parla di coefficiente reali, non puoi usare le radici complesse.
In tutti i modi penso che questo problema dovresti postarlo nella sezione dell'algebra, in quanto è un quesito che richiede nozioni di algebra.
In tutti i modi penso che questo problema dovresti postarlo nella sezione dell'algebra, in quanto è un quesito che richiede nozioni di algebra.
Scrivilo come $(x^4+2x^2+1) - 2x^2 = ...$.
Io ho diviso $x^4+1$ per $x+1$
dopo i vari calcoli viene:
$x^4+1=(x^2+x+1)(x^2+x)$
questo è un prodotto di due polinomi di secondo grado.
Aspetta precisazioni da chi ne sa piu di me.
Ciao!
dopo i vari calcoli viene:
$x^4+1=(x^2+x+1)(x^2+x)$
questo è un prodotto di due polinomi di secondo grado.
Aspetta precisazioni da chi ne sa piu di me.
Ciao!
Assolutamene no.
$(x^2+x+1)(x^2+x)= x^4+x^3+x^3+x^2+x != x^4+1$
Vedi bene come fai la divisione di polinomi
$(x^2+x+1)(x^2+x)= x^4+x^3+x^3+x^2+x != x^4+1$
Vedi bene come fai la divisione di polinomi
@clever: Il polinomio [tex]$x^4+1$[/tex] non è divisibile per [tex]$x+1$[/tex], in quanto [tex]$-1$[/tex] non è una radice reale di [tex]$x^4+1$[/tex]. 
E ripropongo il fatto di spostare questo quesito in "Algebra"
Ragionando insieme a voi,
ho provato a scrivere il polinomio come
$ (x^(2) + 1)^2 -2x^(2) $
ma, così facendo, ottengo una differenza di quadrati e non un prodotto.
ho provato a scrivere il polinomio come
$ (x^(2) + 1)^2 -2x^(2) $
ma, così facendo, ottengo una differenza di quadrati e non un prodotto.
se ci fai caso davanti a te hai proprio il risultato di un prodotto notevole...
Cioè vuoi dire che sono sulla buona strada ??? 
EDIT: un aiutino per arrivarci da solo?
EDIT: un aiutino per arrivarci da solo?
si...tu hai $a^2-b^2$ pensa ad un modo per scomporre questo..
Intendi dire così:
$ [(x^(2) + 1) -2x][(x^(2) + 1) +2x] $
EDIT: quindi togliendo le parentesi avrei:
$ (x^(2) + 1 -2x)(x^(2) + 1 +2x) $
$ [(x^(2) + 1) -2x][(x^(2) + 1) +2x] $
EDIT: quindi togliendo le parentesi avrei:
$ (x^(2) + 1 -2x)(x^(2) + 1 +2x) $
no $[(x^2+1)-sqrt(2)x][(x^2+1)+sqrt(2)x]$
giusto...m'era sfuggita la radice!
Grazie mille. Mi hai chiarito un grosso dubbio!!!
Grazie mille. Mi hai chiarito un grosso dubbio!!!
Sostanzialmente è l'identità di Sophie Germain $a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab)$
Grande donna...
Faccio solo notare che andava anche bene la strada delle radici complesse.
Trovate, in questo caso, le radici quarte di $-1$, si poteva scrivere la scomposizione in $CC[X]$ del polinomio $x^4+1$, fattorizzazione in quattro fattori lineari. Moltiplicando i fattori le cui radici sono complesse coniugate si ottengono due polinomi a coefficienti reali, di secondo grado, che costituiscono proprio la scomposizione richiesta.
Spero di essere stato chiaro
Trovate, in questo caso, le radici quarte di $-1$, si poteva scrivere la scomposizione in $CC[X]$ del polinomio $x^4+1$, fattorizzazione in quattro fattori lineari. Moltiplicando i fattori le cui radici sono complesse coniugate si ottengono due polinomi a coefficienti reali, di secondo grado, che costituiscono proprio la scomposizione richiesta.
Spero di essere stato chiaro
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