Come risolvere il sistema lineare in Z7

[pabloleo]

salve a tutti, sono un neofita di questo forum.. Avrei bisogno del vostro aiuto!!
Ho questo sistema lineare a coefficienti in Z7
5x +z=3
2x+6y+4z+3t=0
3x+3y+z+t=3
5x+3y=5
Non riesco a risolverlo..
Se riuscite a postermelo... Grazie
Paolo[/pgn]

[Lord K]

Lo si può risolvere con il metodo di Kramer!

Il sistema è:

${(5x+z=3),(2x+6y+4z+3t=0),(3x+3y+z+t=3),(5x+3y=5):}$

Riscritto come:

$A\vec x = \vec b$

$((5,0,0,1),(2,6,4,3),(3,3,1,1),(5,3,0,0))((x),(y),(z),(t)) = ((3),(0),(3),(5))$

Da cui sviluppando con Laplace sulla prima riga:

$det(A)=15\equiv 1(7)$

Ora calcolando gli altri determinanti:

$det(A_x)=det((3,0,0,1),(0,6,4,3),(3,3,1,1),(5,3,0,0))$
$det(A_y)=det((5,3,0,1),(2,0,4,3),(3,3,1,1),(5,5,0,0))$
$det(A_z)=det((5,0,3,1),(2,6,0,3),(3,3,3,1),(5,3,5,0))$
$det(A_t)=det((5,0,0,3),(2,6,4,0),(3,3,1,3),(5,3,0,5))$

E ricordandoti che:

$x=det(A_x)/(det(A))$
$y=det(A_y)/(det(A))$
$z=det(A_z)/(det(A))$
$t=det(A_t)/(det(A))$

Ottieni il risultato! Da osservare che non cambia nulla dalla normale risoluzione, l'unica cosa è da tenere conto che il campo di lavorazione è $ZZ_7$ e quindi le divisioni sono la moltiplicazione per gli inversi e ciascun numero è modulo $7$

[pabloleo]

Ti ringrazio per la tua risposta. Secondo LEi va bene come opero?
il nostro prof ci fa operare in questa maniera:
dato il nostro sistema lineare:
$\{(5x+z=3),(2x+6y+4z+3t=0),(3x+3y+z+t=3),(5x+3y=5):}$

inizio allora:
Posto che 3 sono le operazioni che posso effettuare cioè:
$R_{i,j}$(m) --> moltiplico la riga per un numero e la sommo ad un'altra sempre lavorando in $ZZ_7$
$T_{i,j}$(m) --> inverto le varie righe in $ZZ_7$
$M_{j}$(m) --> moltiplico la riga per un numero in $ZZ_7$

comincio a mettere tutti i numeri in matrice, inclusi i termini noti.
$((5 0 1 0 3),(2 6 4 3 0),(3 3 1 1 3),(5 3 0 0 5))$

prima operazione: Incomincio ad operare fino ad ottenere la matrice identità, cioè tutti i PIVOT!
$R_{1,2}$(5)$((1 2 0 1 3),(2 6 4 3 0),(3 3 1 1 3),(5 3 0 0 5))$

$R_{2,4}$(1)$((1 2 0 1 3),(0 2 4 3 5),(3 3 1 1 3),(5 3 0 0 5))$

$R_{3,1}$(4)$((1 2 0 1 3),(0 2 4 3 5),(0 4 1 5 1),(5 3 0 0 5))$

$R_{4,1}$(2)$((1 2 0 1 3),(0 2 4 3 5),(0 4 1 5 1),(0 0 1 0 4))$

$R_{2,3}$(5)$((1 2 0 1 3),(0 1 1 0 3),(0 4 1 5 1),(0 0 1 0 4))$

$R_{3,2}$(3)$((1 2 0 1 3),(0 1 1 0 3),(0 0 4 5 3),(0 0 1 0 4))$

$R_{1,2}$(5)$((1 0 5 1 4),(0 1 1 0 3),(0 0 4 5 3),(0 0 1 0 4))$

$R_{1,4}$(2)$((1 0 0 1 5),(0 1 1 0 3),(0 0 4 5 3),(0 0 1 0 4))$

$R_{3,4}$(4)$((1 0 0 1 5),(0 1 1 0 3),(0 0 1 5 4),(0 0 1 0 4))$

$R_{4,3}$(6)$((1 0 0 1 5),(0 1 1 0 3),(0 0 1 5 4),(0 0 0 2 0))$

$R_{1,4}$(3)$((1 0 0 0 5),(0 1 1 0 3),(0 0 1 5 4),(0 0 0 2 0))$

$R_{2,3}$(6)$((1 0 0 0 5),(0 1 0 2 3),(0 0 1 5 4),(0 0 0 2 0))$

$R_{2,4}$(6)$((1 0 0 0 5),(0 1 0 0 3),(0 0 1 5 4),(0 0 0 2 0))$

$R_{3,4}$(6)$((1 0 0 0 5),(0 1 0 0 3),(0 0 1 0 4),(0 0 0 2 0))$

$M_{4}$(4)$((1 0 0 0 5),(0 1 0 0 3),(0 0 1 0 4),(0 0 0 1 0))$

Trovati tutti i vari PIVOT
ottengo le soluzioni:

$\{(x=5), (y=3), (z=4), (t=0):}$

Le sostituisco al sistema iniziale e verifico che le soluzioni trovate sono esatte.

[Lord K]

E' il metodo di risoluzione! Assolutamente corretto!

P.S. mi raccomando il Lei non serve di certo sia perchè sono un uomo sia perchè credo che tutti si rimane studenti per sempre, anche se spesso il prefisso cambia

[pabloleo]

grazie mille!!!!!!!!!!!!!!!!!