Come posso dimostrare che A \ (A \ B) = A ∩ B ?
Buonasera a tutti!
Vorrei cortesemente capire come possa dimostrare la seguente proposizione:
Siano A e B insiemi. Provare che: [tex]A \backslash (A \backslash B) = A \cap B[/tex]
Ho una possibile risposta ma premetto che non conosco il metodo giusto per dimostrare una proposizione del genere, per questo motivo dubito altamente che sia corretta, anzi, credo che contenga molti errori, ve la mostro di seguito:
se: [tex]A \cap B + (A \backslash B) = A[/tex] allora [tex]A \backslash (A \backslash B) = A \cap B[/tex]
poiche': [tex]A \cap B = \{x | x \in A, x \in B\}[/tex] e [tex]A \backslash B = \{x | x \in A, x \ni B\}[/tex]
quindi: [tex]A \backslash (A \backslash B) = \{ x | x \in A, x \ni (A \backslash B) \} \Leftrightarrow A \cap B[/tex]
Ringrazio chiunque sottolinei i miei sbagli e proponga la soluzione corretta dell'esercizio.
Emanuele
Vorrei cortesemente capire come possa dimostrare la seguente proposizione:
Siano A e B insiemi. Provare che: [tex]A \backslash (A \backslash B) = A \cap B[/tex]
Ho una possibile risposta ma premetto che non conosco il metodo giusto per dimostrare una proposizione del genere, per questo motivo dubito altamente che sia corretta, anzi, credo che contenga molti errori, ve la mostro di seguito:
se: [tex]A \cap B + (A \backslash B) = A[/tex] allora [tex]A \backslash (A \backslash B) = A \cap B[/tex]
poiche': [tex]A \cap B = \{x | x \in A, x \in B\}[/tex] e [tex]A \backslash B = \{x | x \in A, x \ni B\}[/tex]
quindi: [tex]A \backslash (A \backslash B) = \{ x | x \in A, x \ni (A \backslash B) \} \Leftrightarrow A \cap B[/tex]
Ringrazio chiunque sottolinei i miei sbagli e proponga la soluzione corretta dell'esercizio.
Emanuele
Risposte
Credo che il metodo "giusto" formale per queste dimostrazioni sia quello che hai usato, con le notazioni $x \in A$, ecc... almeno le ho sempre viste cosi'.
Mi sembra pero' che risulti oltremodo poco chiaro e intuitivo.
Usando una semplice tabella mi sembra che tutto diventi piu' chiaro.
La prima e la seconda colonna indicano tutti i casi, dove 1 indica che l'elemento appartiene all'insieme $A$ o $B$.
$A \\ B$ e' vera solo se l'elemento appartiene ad $A$ ma non a $B$.
Poi si ripeta ma prendendo come input la prima e la terza colonna, e il risultato e' la quarta colonna.
Risulta la stessa tabella di verita' della disgiunzione, ovvero l'AND logico.
${: ( A , B , A \\ B , A\\(A\\B) , A \cap B ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 1 , 1 ) :}$
Mi sembra pero' che risulti oltremodo poco chiaro e intuitivo.
Usando una semplice tabella mi sembra che tutto diventi piu' chiaro.
La prima e la seconda colonna indicano tutti i casi, dove 1 indica che l'elemento appartiene all'insieme $A$ o $B$.
$A \\ B$ e' vera solo se l'elemento appartiene ad $A$ ma non a $B$.
Poi si ripeta ma prendendo come input la prima e la terza colonna, e il risultato e' la quarta colonna.
Risulta la stessa tabella di verita' della disgiunzione, ovvero l'AND logico.
${: ( A , B , A \\ B , A\\(A\\B) , A \cap B ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 1 , 1 ) :}$
Quello che stai facendo, così, è dimostrare che le funzioni caratteristiche di \(A\cap B\) e di \(A\setminus(A\setminus B)\) sono uguali, qualora \(A,B\) sono sottoinsiemi di un universo fissato. Questo non è sbagliato, ma è inutilmente complicato: è sufficiente dimostrare la doppia inclusione \(A\cap B \subseteq A\setminus(A\setminus B)\) e \(A\cap B \supseteq A\setminus(A\setminus B)\).
Ringrazio molto per entrambe le risposte ma riferendomi a quella di megas_archon avrei un'ulteriore domanda:
Come posso dimostrare questa doppia inclusione?
Grazie mille anche a Quinzio!
"megas_archon":
è sufficiente dimostrare la doppia inclusione \( A\cap B \subseteq A\setminus(A\setminus B) \) e \( A\cap B \supseteq A\setminus(A\setminus B) \).
Come posso dimostrare questa doppia inclusione?
Grazie mille anche a Quinzio!
Come posso dimostrare questa doppia inclusione?Mi sembra ovvio; prova.
Poiché \(A\setminus B=\{a\in U \mid a\in A \wedge a\notin B\}\), usando alcune proprietà della logica proposizionale (distributiva e di De Morgan) si ha:
\[
\begin{alignat*}{1}
A\setminus(A\setminus B) &= \{a\in U \mid a\in A \wedge a\notin (A\setminus B)\} \\
&= \{a\in U \mid a\in A \wedge \lnot(a\in A \wedge a\notin B)\} \\
&= \{a\in U \mid a\in A \wedge (a\notin A \vee a\in B)\} \\
&= \{a\in U \mid (a\in A \wedge a\notin A) \vee (a\in A \wedge a\in B)\} \\
&= \{a\in U \mid a\in A \wedge a\notin A\} \cup \{a\in U \mid a\in A \wedge a\in B\} \\
&= \emptyset \cup (A\cap B) \\
&= A\cap B \\
\end{alignat*}
\]
($U$ è un "universo" di cui $A$ e $B$ sono sottoinsiemi. A me sembra utile/opportuno introdurlo, ma non sono sicuro che sia lecito...)
\[
\begin{alignat*}{1}
A\setminus(A\setminus B) &= \{a\in U \mid a\in A \wedge a\notin (A\setminus B)\} \\
&= \{a\in U \mid a\in A \wedge \lnot(a\in A \wedge a\notin B)\} \\
&= \{a\in U \mid a\in A \wedge (a\notin A \vee a\in B)\} \\
&= \{a\in U \mid (a\in A \wedge a\notin A) \vee (a\in A \wedge a\in B)\} \\
&= \{a\in U \mid a\in A \wedge a\notin A\} \cup \{a\in U \mid a\in A \wedge a\in B\} \\
&= \emptyset \cup (A\cap B) \\
&= A\cap B \\
\end{alignat*}
\]
($U$ è un "universo" di cui $A$ e $B$ sono sottoinsiemi. A me sembra utile/opportuno introdurlo, ma non sono sicuro che sia lecito...)
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