Come elencare sottogruppi

[checchino1]

Salve,sono in enorme difficoltà nell'elencare i sottogruppi del gruppo $Z/(28Z)$.
Dal teorema di Lagrange sò che le cardinalità dei sottogruppi devono essere divisori della cardinalità del gruppo, ma oltre questo non so come procedere.
Vi ringrazio in anticipo.

[vict85]

Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico e generato da un multiplo del generatore (per esempio 1).

[checchino1]

Potresti farmi un esempio di generatore e suoi multipli

[SaraSueEss]

Come ha detto vict85, ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico.
$ZZ$ $/$ $28ZZ$ é ciclico, contare i suoi sottogruppi sapendo questo è quindi molto facile.
Dato che $#$ $ZZ$ $/$ $28ZZ$ $=$ $28$, i suoi sottogruppi avranno tutti ordine che divide $28$.
$=>$ bisogna trovare il numero di sottogruppi ciclici di $ZZ$ $/$ $28ZZ$ di ordine $n$, per $n$ che varia in ${1, 2, 4, 7, 14, 28}$

Dato che ogni gruppo ciclico di ordine $n$ ha esattamente $\phi(n)$ generatori

$=>$ $#$ $\text{sgr ciclici di ordine n}$ $=$ $\frac{\text{# elementi di ordine n}}{\phi(n)}$

[checchino1]

Un esempio pratico sulla determinazione di un sottogruppo?Grazie

[vict85]

2 è un multiplo di 1 e genera un sottogruppo di ordine 14.

[SaraSueEss]

Non credo che $bar2$ generi $ZZ$ $/$ $14ZZ$, piuttosto $ZZ$ $/$ $7ZZ$, infatti:

$$ $=$ ${2, 4, 6, 8-=1, 10-=3, 12-=5, 14-=0}$ $=$ $ZZ$ $/$ $7ZZ$

[vict85]

Scusa ma non capisco perché \(8\) è congruo a \(1\); siamo in \(\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}\) e non \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\). È \(4\) che genera un sottogruppo isomorfo a \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\).

In generale \(\displaystyle g^s \) genera un sottogruppo ciclico di ordine \(\displaystyle \frac{n}{(s,n)} \) dove con \((s,n)\) intendo il massimo comun divisore.

[SaraSueEss]

Ahh, ok, sottogruppo di ordine $14$, non $ZZ$ $/$ $14ZZ$, scusa per la poca attenzione