Come è fatto questo anello quoziente?
Ciao a tutti. L'anello in questione è $K=\frac{\mathbb{Z}}{(1+i)}$
Dovrebbe essere un campo essendo l'ideale $(1+i)$ massimale. (Come faccio a verificare questo fatto?)
Poi so che $i$ è algebrico su $\mathbb{Z}$ essendo radice del polinomio a coefficienti razionali $X^2+1$. Quindi $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}(i)={a+bi|a,b\in\mathbb{Z}}$ (ampliamento semplice).
Ora, l'ideale generato dall'elemento $(1+i)$ dovrebbe essere ${(1+i)x|x\in\mathbb{Z}(i)}={a-b+(a+b)i|a,b\in\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}(i)$. Ma allora il campo $K$ è $\mathbb{F}_1$, ossia il campo con un solo elemento.
Vi prego di essere clementi in quanto sono argomenti che ho cominciato a trattare da pochissimo
Dovrebbe essere un campo essendo l'ideale $(1+i)$ massimale. (Come faccio a verificare questo fatto?)
Poi so che $i$ è algebrico su $\mathbb{Z}$ essendo radice del polinomio a coefficienti razionali $X^2+1$. Quindi $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}(i)={a+bi|a,b\in\mathbb{Z}}$ (ampliamento semplice).
Ora, l'ideale generato dall'elemento $(1+i)$ dovrebbe essere ${(1+i)x|x\in\mathbb{Z}(i)}={a-b+(a+b)i|a,b\in\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}(i)$. Ma allora il campo $K$ è $\mathbb{F}_1$, ossia il campo con un solo elemento.
Vi prego di essere clementi in quanto sono argomenti che ho cominciato a trattare da pochissimo
Risposte
Per mostrare che $(1+i)$ è massimale devi far vedere che $1+i$ è primo [nota]Siano $a,b\in ZZ$ tali che $|1+i|=2=|a||b|$ allora o $a=1$ o $b=1$[/nota], poiché negli anelli euclidei massimale e primo sono sinonimi.
Come è fatto?
Sia $a+bi \in ZZ$, con $a!=b$, e sia $\pi : ZZ \mapsto ZZ //(1+i)=:K$ la proiezione sul quoziente allora risulta che $\pi(a+bi)=\pi(a-b+b(1+i))=\pi(a-b)+0=a-b=\pi(a(1+i)+(b-a)i)=0+\pi((b-a)i)=(b-a)i$ questo mostra che in $K$ si ha $i=-1$ cioè $i^2=-1=1=(-1)^2$ ovvero $1=-1$ sono nella stessa classe di equivalenza e questo mostra che $K$ ha due elementi (le due classi $1$ e $0$).
Un altro modo per verificare che $K=\mathbb{F}_2$ è osservando che $2 \in (1+i)$ da cui deriva che tutti i multipli di 2 vanno a 0 tuttavia $(1+i) \sub ZZ$ quindi $1<|K| \leq 2$ da cui $|K|=2$.
Come è fatto?
Sia $a+bi \in ZZ$, con $a!=b$, e sia $\pi : ZZ \mapsto ZZ //(1+i)=:K$ la proiezione sul quoziente allora risulta che $\pi(a+bi)=\pi(a-b+b(1+i))=\pi(a-b)+0=a-b=\pi(a(1+i)+(b-a)i)=0+\pi((b-a)i)=(b-a)i$ questo mostra che in $K$ si ha $i=-1$ cioè $i^2=-1=1=(-1)^2$ ovvero $1=-1$ sono nella stessa classe di equivalenza e questo mostra che $K$ ha due elementi (le due classi $1$ e $0$).
Un altro modo per verificare che $K=\mathbb{F}_2$ è osservando che $2 \in (1+i)$ da cui deriva che tutti i multipli di 2 vanno a 0 tuttavia $(1+i) \sub ZZ$ quindi $1<|K| \leq 2$ da cui $|K|=2$.
Una via "classica" è applicare il teorema di isomorfismo per gli anelli all'omomorfismo suriettivo
$ZZ to ZZ//2ZZ$
che manda $a+ib$ in $a+b mod 2$.
Una curiosità: un esercizio sorprendentemente non facilissimo è mostrare che in generale $ZZ//(a+ib)$ ha cardinalità $a^2+b^2$.
$ZZ to ZZ//2ZZ$
che manda $a+ib$ in $a+b mod 2$.
Una curiosità: un esercizio sorprendentemente non facilissimo è mostrare che in generale $ZZ//(a+ib)$ ha cardinalità $a^2+b^2$.
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