Come dimostro questa suriettività?

[aspesi]

Ho una domanda sciocca ma che non so rendere formalmente vera.

Mi sembra che intuitivamente sia vero che se ho una f funzione iniettiva, allora se so che per ogni elemento del codominio B ne esiste uno x del dominio A t.c $f(x) in B$ allora (data l'iniettività) è anche suriettiva.

il fatto è che
la suriettività dice per ogni y esiste x t.c f(x)=y
io invece ho per ogni y esiste x t.c $f(x) in B$ che unito alll'iniettività mi sembra fuzionare.

EDIT:
In realtà la mia idea mi accorgo che detta così non funziona, perché non è quello che vorrei; l'idea è piuttosto la seguente:
io prendo un y del codominio e verifico che esiste una x tale che f(x) può non finire sull' y di partenza, ma su un altro elemento y'. Poi prendo un altro $y_2$ e verifico che esiste una $x_2$ diversa dalla precedente x tale che $f(x_2)=y_3$ ecc... l'idea è quindi legare ogni elemento di y scelto a piacere a un f(x) che manda in B su un altro elemento y' ecc ecc fino ad esaurirli. In questo modo è anche suriettiva ma

1) come scrivo in formule
2) come dimostro che è suriettiva effettivamente?

[megas_archon]

fino ad esaurirli

In generale, non puoi "esaurirli". In più, la cosa che enunci non ha senso.

[otta96]

Se ho capito la tua idea, funziona quando il dominio e codominio sono finiti con della stessa cardinalità.

[aspesi]

"otta96":Se ho capito la tua idea, funziona quando il dominio e codominio sono finiti con della stessa cardinalità.

Grazie e scusate se mi sono espresso malissimo.
Però volevo capire, come dimostro che quella idea funziona? in poche parole dovrei poi trovarmi ad avere per ogni y esiste x tale che f(x)=y, coè la definizione di surietiva. E' solo che

I) non riesco dannatamente a formalizzare in formule la mia idea
II) non saprei poi come dimostrarlo

[ghira1]

"aspesi":
Mi sembra che intuitivamente sia vero che se ho una f funzione iniettiva, allora se so che per ogni elemento del codominio B ne esiste uno x del dominio A t.c $f(x) in B$ allora (data l'iniettività) è anche suriettiva.

Ma questo lo sai per qualsiasi funzione da $A$ a $B$.

Prendiamo la funzione $f$ da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ che mandi ogni reale a 0.

Per ogni elemento del codominio c'è un elemento $x$ del dominio tale che $f(x)$ è nel codominio. Basta usare, diciamo, $x=0$ ogni volta.

Trovare una funzione che _non_ ha la proprietà che dici sembra difficile. Una funzione dall'insieme vuoto ad un insieme non-vuoto, magari?

[aspesi]

esatto @ghira. Per quello dicevo che ho sbagliato, il senso era questo. Ma ormai il danno era fatto.

"aspesi":
EDIT:
In realtà la mia idea mi accorgo che detta così non funziona, perché non è quello che vorrei; l'idea è piuttosto la seguente:
io prendo un y del codominio e verifico che esiste una x tale che f(x) può non finire sull' y di partenza, ma su un altro elemento y'. Poi prendo un altro $y_2$ e verifico che esiste una $x_2$ diversa dalla precedente x tale che $f(x_2)=y_3$ ecc... l'idea è quindi legare ogni elemento di y scelto a piacere a un f(x) che manda in B su un altro elemento y' ecc ecc fino ad esaurirli. In questo modo è anche suriettiva ma

1) come scrivo in formule
2) come dimostro che è suriettiva effettivamente?

[ghira1]

Ho letto il filone ma non capisco cosa vuoi fare.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"aspesi":per ogni y esiste x t.c $f(x) in B$

Mi permetto di osservare che questa frase non ha significato.

[megas_archon]

Non ha senso cercare di invertire una mappa che ha un dominio e un codominio che non possono essere isomorfi. Ci sono diversi sensi in cui una funzione è "localmente invertibile" o "invertibile quando ristretta all'immagine" che potrebbero avere senso qui, ma sono tutti abbastanza banali.

In sintesi, la cosa che interessa a te (che non è precisa, ma è ad uso del delfino) è che non si può invertire una funzione tra \(\mathbb R^n\) ed \(\mathbb R^m\) quando \(n\ne m\).

[ghira1]

??