Come dimostrare che un ideale è massimale

[blonde angy]

Ciao!
Ho un dubbio nel dimostrare se $ZZ_12[sqrt([3])]$ sia un campo e/o un dominio.

Ho pensato di considerare il morfismo di anelli di valutazione:
$g :ZZ_12[x]--->RR$
$f----->f(sqrt([3]))$

$sqrt([3])$ è algebrico su $ZZ_12$ perché radice di $(x^2-[3])$ che è anche irriducibile, quindi $(ZZ_12[x])/(Kerg)=(ZZ_12[x])/(x^2-[3])$ e per il teorema fondamentale di omomorfismo per anelli $Kerg ~= Img=ZZ_12[sqrt([3])]$.

A questo punto non posso dire che $(ZZ_12[x])/(Kerg)$ è campo $ iff x^2-[3]$ è irriducibile perché $ZZ_12[x]$ non è un dominio a ideali principali, non è proprio un dominio!
Quindi come posso dimostrare che l'ideale è o non è massimale e quindi $ZZ_12[sqrt([3])]$ è o non è un campo?

[maurer]

No, aspetta un attimo. In [tex]\mathbb Z_{12}[\sqrt{3}][/tex] [tex]2 \cdot 6 = 0[/tex]. Quindi non è né un dominio e quindi non potrà nemmeno essere un campo!

[blonde angy]

In pratica gli elementi di $ZZ_12[sqrt(3)]$ sono tutti gli elementi di $ZZ_12$ più $sqrt(3)$ quindi contiene comunque 0-divisori, dunque non è un dominio.
Inoltre non tutti gli elementi sono invertibili quindi non è nemmeno un campo.

[maurer]

Tieni presente che in un campo non ci sono mai zero divisori. Infatti, un elemento invertibile non può essere uno 0-divisore e uno 0-divisore non può essere invertibile!

[blonde angy]

Ok, ti ringrazio molto!