Come determinare gli ideali di un insieme
Salve a tutti, sto preparando l'esame di algebra uno, sono arrivato a studiare le strutture di anello e ideali e qui ho trovato un intoppo, mi sono trovato davanti un'esercizio che mi dice di trovare tutti gli ideali di $RRxRR$ e non riesco a svolgerlo, anzi proprio non capisco da dove cominciare, ora io so che dato un anello $R$, un sottoinsieme $I$ si dice ideale se presi a e b appartenenti a $I$, $a-b in I$ e presi $a in I$ e $x in R$ $a*x in I$, questo però non capisco come posso usarlo in generale, avendo per esempio solo l'anello come devo imporre le condizioni per trovare quali sottoinsiemi sono ideali di quell'anello dato?
Risposte
Dimmi, quali sono gli ideali di un campo?
gli ideali di un campo sono solo l'ideale nullo e l'anello stesso se non sbaglio...mmm...quindi dici tu, se hai un campo il discorso è molto facile 
giusto... però $RRxRR$ per esempio non è un campo...escludendo i campi quindi come posso determinare gli ideali di un anello generico...?!?!
giusto... però $RRxRR$ per esempio non è un campo...escludendo i campi quindi come posso determinare gli ideali di un anello generico...?!?!
Calma, calma.
Lo so perfettamente che [tex]\mathbb R \times \mathbb R[/tex] non è un campo. Però è il prodotto di un campo per se stesso. E anche in questo caso sappiamo dire tutto. In realtà, la cosa meravigliosa è che, sebbene non sappiamo essere molto precisi sugli ideali di [tex]A \times B[/tex], sappiamo essere terribilmente accurati circa [tex]\text{Spec}(A \times B)[/tex], ossia sull'insieme degli ideali primi. Ma questo non ti interessa, perché stai preparando algebra 1 (spero di incuriosirti, però!).
Ora se ti chiedo se [tex]\mathbb R \times \{0\}[/tex] è un ideale di [tex]\mathbb R \times \mathbb R[/tex], tu cosa rispondi?
Lo so perfettamente che [tex]\mathbb R \times \mathbb R[/tex] non è un campo. Però è il prodotto di un campo per se stesso. E anche in questo caso sappiamo dire tutto. In realtà, la cosa meravigliosa è che, sebbene non sappiamo essere molto precisi sugli ideali di [tex]A \times B[/tex], sappiamo essere terribilmente accurati circa [tex]\text{Spec}(A \times B)[/tex], ossia sull'insieme degli ideali primi. Ma questo non ti interessa, perché stai preparando algebra 1 (spero di incuriosirti, però!).
Ora se ti chiedo se [tex]\mathbb R \times \{0\}[/tex] è un ideale di [tex]\mathbb R \times \mathbb R[/tex], tu cosa rispondi?
mmm...ho qualche dubbio, però se ho ben capito, ${0}$ è l'insieme che contiene solo l'elemento zero, cioè $RRx{0}={(a,b)|a in RR e b=0}$ quindi risponderei che si questo è un ideale perchè presi $(a,0) e (b,0)$ entrambi appartengono a $I=RRx{0}$ e la loro differenze è $(a-b,0)$ che appartiene ancora a $I$ poi prendo un $(x,y) in RRxRR$ e $(a,0)*(x,y)=(ax,0)$ che sta ancora in $I$
Giusto.
E analogamente [tex]\{0\} \times \mathbb R[/tex] è un ideale di [tex]\mathbb R \times \mathbb R[/tex].
Ti dico che [tex]\{(0,0)\}, \{0\} \times \mathbb R, \mathbb R \times \{0\}, \mathbb R \times \mathbb R[/tex] sono tutti e soli gli ideali di [tex]\mathbb R \times \mathbb R[/tex]. Riesci a dimostrarlo?
E analogamente [tex]\{0\} \times \mathbb R[/tex] è un ideale di [tex]\mathbb R \times \mathbb R[/tex].
Ti dico che [tex]\{(0,0)\}, \{0\} \times \mathbb R, \mathbb R \times \{0\}, \mathbb R \times \mathbb R[/tex] sono tutti e soli gli ideali di [tex]\mathbb R \times \mathbb R[/tex]. Riesci a dimostrarlo?
mmm...mi sa di no... 
avevo pensato ad una dimostrazione per assurdo ma mi mancano le condizioni....cioè se io prendo un sottoinsieme di $RR x RR$ e due elementi di questo come faccio a dire se la loro diff sta ancora nel sottoinsieme....e la stessa cosa per il prodotto...mi sfugge qualcosa...!!! Però ho notato che secondo quello che dici gli ideali di un insieme prodotto (forse bisognerà aggiungere di prodotto con se stesso?), in questo caso di $RR x RR$, sono i prodotti tra gli ideali dei singoli insiemi "fattori"(non penso sia il nome corretto però è per capirci) 
questo fatto può entrarci qualcosa...!?!?
avevo pensato ad una dimostrazione per assurdo ma mi mancano le condizioni....cioè se io prendo un sottoinsieme di $RR x RR$ e due elementi di questo come faccio a dire se la loro diff sta ancora nel sottoinsieme....e la stessa cosa per il prodotto...mi sfugge qualcosa...!!! Però ho notato che secondo quello che dici gli ideali di un insieme prodotto (forse bisognerà aggiungere di prodotto con se stesso?), in questo caso di $RR x RR$, sono i prodotti tra gli ideali dei singoli insiemi "fattori"(non penso sia il nome corretto però è per capirci) questo fatto può entrarci qualcosa...!?!?
Non vale in generale. Non è sempre detto che gli ideali di un prodotto siano prodotti di ideali.
Vale per ideali primi e vale anche in casi particolari come questo (semplicemente perché sono tutti ideali primi)
Scusa, sia [tex]I[/tex] un ideale di [tex]\mathbb R \times \mathbb R[/tex]. Supponiamo [tex]I \ne \{(0,0)\}[/tex], altrimenti abbiamo concluso, e sia [tex](x,y) \in I[/tex] un elemento non nullo. Supponiamo [tex]x \ne 0, y \ne 0[/tex]. Allora [tex](1,1) = (x^{-1}, y^{-1}) \cdot (x,y) \in I[/tex], ossia [tex]I = \mathbb R \times \mathbb R[/tex]. Supponiamo quindi [tex]x = 0, y \ne 0[/tex]. Allora [tex](0,y^{-1})\cdot (0,y) = (0,1) \in I[/tex] e quindi [tex]I = \{0\} \times \mathbb R[/tex]. E analogamente nell'ultima possibilità.
Quindi siamo partiti da un ideale e abbiamo mostrato che per forza è uno di quei quattro che avevo elencato. Quindi ce li abbiamo tutti.
Vale per ideali primi e vale anche in casi particolari come questo (semplicemente perché sono tutti ideali primi
)Scusa, sia [tex]I[/tex] un ideale di [tex]\mathbb R \times \mathbb R[/tex]. Supponiamo [tex]I \ne \{(0,0)\}[/tex], altrimenti abbiamo concluso, e sia [tex](x,y) \in I[/tex] un elemento non nullo. Supponiamo [tex]x \ne 0, y \ne 0[/tex]. Allora [tex](1,1) = (x^{-1}, y^{-1}) \cdot (x,y) \in I[/tex], ossia [tex]I = \mathbb R \times \mathbb R[/tex]. Supponiamo quindi [tex]x = 0, y \ne 0[/tex]. Allora [tex](0,y^{-1})\cdot (0,y) = (0,1) \in I[/tex] e quindi [tex]I = \{0\} \times \mathbb R[/tex]. E analogamente nell'ultima possibilità.
Quindi siamo partiti da un ideale e abbiamo mostrato che per forza è uno di quei quattro che avevo elencato. Quindi ce li abbiamo tutti.
Ok...perfetto!!! ma un ragionamento del genere lo posso ripetere per un qualsiasi altro insieme prodotto..??!
Cioè se per esempio mi trovassi a dover stabilire gli ideali di $RR xx ZZ$ potrei supporre come hai fatto tu di scegliere un $I$ ideale di $RR xx ZZ$. Supporre poi $I!={(0,0)}$ e ragionare analogamente dicendo che $(1,1)=(x^(-1),Y^(-1))*(x,y) in I$ se e solo se $x in RR$ e $y=\pm1$, quindi l'ideale dovrebbe risultare $I={(x,y)| x in RR$ e $y=\pm1}$, con $x=0$ e $y!=0$ verrebbe $I=(0,1)$ e con $x!=0$ e $y=0$, $I=RR xx {0}$?
ma un ragionamento del genere lo posso ripetere per un qualsiasi altro insieme prodotto..??!Cioè se per esempio mi trovassi a dover stabilire gli ideali di $RR xx ZZ$ potrei supporre come hai fatto tu di scegliere un $I$ ideale di $RR xx ZZ$. Supporre poi $I!={(0,0)}$ e ragionare analogamente dicendo che $(1,1)=(x^(-1),Y^(-1))*(x,y) in I$ se e solo se $x in RR$ e $y=\pm1$, quindi l'ideale dovrebbe risultare $I={(x,y)| x in RR$ e $y=\pm1}$, con $x=0$ e $y!=0$ verrebbe $I=(0,1)$ e con $x!=0$ e $y=0$, $I=RR xx {0}$?
No. Perché ad esempio se prendi [tex](4,2) \in \mathbb R \times \mathbb Z[/tex], l'inverso di [tex]2[/tex] non c'è in [tex]\mathbb Z[/tex]. Il discorso funziona solo se entrambi gli oggetti sono campi (o corpi).
mmm...apposta io avevo pensato di imporre la condizione che la seconda componente (quella riguardante l'elemento di $ZZ$ nell'insieme prodotto) dovesse essere $\pm1$ per essere un elemento dell'ideale... questo è sbagliato quindi...!??! Se si allora come faccio in generale a stabilire gli ideali di un insieme!? non c'è un metodo generale, un tipo di ragionamento più o meno standard da poter applicare a seconda dei casi?
No! ahahahahah! Se ci fosse avremmo un sacco di problemi in meno, sai? Ad esempio quando si fa algebra commutativa l'insieme degli ideali primi è un insieme estremamente interessante... la sua conoscenza ci darebbe un sacco di informazioni. Ma spesso è difficilissimo capire com'è fatto!
Ad esempio, prova a capire come sono fatti gli ideali di [tex]\mathbb Z[X][/tex]!
Ad esempio, prova a capire come sono fatti gli ideali di [tex]\mathbb Z[X][/tex]!
AH! emm...non ne ho la più pallida idea di come possano essere fatti gli ideali di $ZZ[X]$, più che altro non mi torna la proprietà di assorbimento, cioè avevo pensato che devono per forza essere polinomi visto che siamo in un anello di polinomi, però se prendo un polinomio di grado n e lo moltiplico per un altro di grado qualsiasi, il grado del loro prodotto sarà la somma dei gradi dei polinomi fattori quindi non starà più nell'ideale scelto(visto che racchiudeva i polinomi di grado fissato)...!!! 
...aiutooo non ci capisco più niente, come faccio a inventarmi tutte le volte un nuovo procedimento...!??! per esempio tu prima, nell'esercizio con $RR xx RR$ da cosa hai dedotto che il ragionamento giusto era quello che hai poi postato!?
...aiutooo non ci capisco più niente, come faccio a inventarmi tutte le volte un nuovo procedimento...!??! per esempio tu prima, nell'esercizio con $RR xx RR$ da cosa hai dedotto che il ragionamento giusto era quello che hai poi postato!?
La prima volta che ho fatto questo esercizio (ed è stato un po' di tempo fa!) mi sono detto: oh, gli ideali prodotto sono ideali. E sono anche pochi. Non è che riesco a far vedere che ci sono solo loro? E ci sono riuscito...
Nel caso di [tex]\mathbb Z[X][/tex] la situazione è molto più complessa. Avrai gli ideali principali, ossia quelli generati da un polinomio. Ma poi avrai anche cose del tipo [tex](2,x^2+x+1)[/tex], che non sono principali.
Un metodo generale non c'è. Solitamente, se ti viene assegnato un esercizio simile è perché c'è un modo di pensare la faccenda in modo da renderla abbastanza facile, comunque!
Nel caso di [tex]\mathbb Z[X][/tex] la situazione è molto più complessa. Avrai gli ideali principali, ossia quelli generati da un polinomio. Ma poi avrai anche cose del tipo [tex](2,x^2+x+1)[/tex], che non sono principali.
Un metodo generale non c'è. Solitamente, se ti viene assegnato un esercizio simile è perché c'è un modo di pensare la faccenda in modo da renderla abbastanza facile, comunque!
mmm....che gran casino... 
non ne uscirò vivo da questo esame, comunque grazie mille dell'aiuto per adesso...sei stato gentilissimo, anche se penso che non mi sarà sufficiente, probabilmente avrò bisogno di qualche altra dritta in un futuro molto prossimo presuppongo...!!! ciao
non ne uscirò vivo da questo esame, comunque grazie mille dell'aiuto per adesso...sei stato gentilissimo, anche se penso che non mi sarà sufficiente, probabilmente avrò bisogno di qualche altra dritta in un futuro molto prossimo presuppongo...!!! ciao
ciao scusa se disturbo ancora ma ho trovato ancora difficolta negli esercizi per determinare gli ideali di un insieme, l'esercizio che non riesco a svolgere è questo:
determinare gli ideali dell'anello $ZZ_4 xx ZZ_6$.
Io ho provato a ragionare così: visto che non è un dominio di integrità non può essere neanche un campo, quindi non posso sperare che gli ideali siano solo quello nullo e l'anello stesso, ho provato quindi a costruirmi un omomorfismo che andasse da l'anello dato ad uno con la stessa caratteristica, che a me viene 12, per poi valutarne il nucleo che so essere un ideale dell'anello, quindi dovrei trovare un omomorfismo $phi: ZZ_4 xx ZZ_6->ZZ_12$ ho provato alcune strade tipo la moltiplicazione tra le due componenti o la loro somma, ma ho verificato che non sono assolutamente omomorfismi, quindi non so quale altra strada provare potresti darmi una mano, visto anche che ho provato a creare un nuovo post ma nessuno mi ha dato risposta purtroppo...?!
determinare gli ideali dell'anello $ZZ_4 xx ZZ_6$.
Io ho provato a ragionare così: visto che non è un dominio di integrità non può essere neanche un campo, quindi non posso sperare che gli ideali siano solo quello nullo e l'anello stesso, ho provato quindi a costruirmi un omomorfismo che andasse da l'anello dato ad uno con la stessa caratteristica, che a me viene 12, per poi valutarne il nucleo che so essere un ideale dell'anello, quindi dovrei trovare un omomorfismo $phi: ZZ_4 xx ZZ_6->ZZ_12$ ho provato alcune strade tipo la moltiplicazione tra le due componenti o la loro somma, ma ho verificato che non sono assolutamente omomorfismi, quindi non so quale altra strada provare potresti darmi una mano, visto anche che ho provato a creare un nuovo post ma nessuno mi ha dato risposta purtroppo...?!
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