Come definire una permutazione
Mi chiedo che differenza ci sia tra le seguenti definizioni di permutazione (semplice).
(1) Sia \( I \) un insieme di cardinalità finita. Una permutazione (semplice) di \( \vert\, I\, \vert \) elementi è un'applicazione invertibile \( p : I \rightarrow I \).
(2) Sia \( I \) un insieme di cardinalità finita. Una permutazione (semplice) di \( \vert\, I\, \vert \) elementi è una qualsiasi \( \vert\, I\, \vert \)-pla di elementi distinti di \( I^{\vert\, I\, \vert} \).
La domanda nasce spontanea per il significato intuitivo che tendo ad assegnare al termine "permutazione": almeno, io la penso intuitivamente come un riordinamento degli elementi di un insieme e quindi un insieme ordinato di dimensione opportuna che contenga una sola volta (nel caso di permutazione semplice) tutti gli elementi dell'insieme che sto permutando.
D'altronde, se la permutazione semplice la definisco secondo la (1) (come del resto fanno alcuni testi) si viene a perdere il significato intuitivo che ho descritto.
Come si può risolvere la questione?
(1) Sia \( I \) un insieme di cardinalità finita. Una permutazione (semplice) di \( \vert\, I\, \vert \) elementi è un'applicazione invertibile \( p : I \rightarrow I \).
(2) Sia \( I \) un insieme di cardinalità finita. Una permutazione (semplice) di \( \vert\, I\, \vert \) elementi è una qualsiasi \( \vert\, I\, \vert \)-pla di elementi distinti di \( I^{\vert\, I\, \vert} \).
La domanda nasce spontanea per il significato intuitivo che tendo ad assegnare al termine "permutazione": almeno, io la penso intuitivamente come un riordinamento degli elementi di un insieme e quindi un insieme ordinato di dimensione opportuna che contenga una sola volta (nel caso di permutazione semplice) tutti gli elementi dell'insieme che sto permutando.
D'altronde, se la permutazione semplice la definisco secondo la (1) (come del resto fanno alcuni testi) si viene a perdere il significato intuitivo che ho descritto.
Come si può risolvere la questione?
Risposte
Perché dici che con la (1) si perde il significato intuitivo? Lo scambio di elementi si può pensare "codificato" da una funzione invertibile. La funzione permette di associare ad ognuno degli elementi di $I$ l'elemento che occuperà il suo posto dopo la permutazione. Supponendo $|I|=n$ la funzione associa ad ogni elemento di una $n-upla$ un nuovo elemento in modo da ottenere una $n-upla$ con elementi tutti distinti che corrisponde effettivamente ad uno scambio di posto tra gli elementi.. non so se mi sono spiegata bene..
Sì, grazie.
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