Come capire se un gruppo è ciclico

[Mappers1998]

Buongiorno! Volevo chiedere, so che la domanda potrebbe essere molto generica ma, come si fa a capire se un gruppo è ciclico? So che devo riuscire a vedere se ogni elemento è determinabile come potenza (o prodotto) di un elemento appartenente al gruppo. Ma ad esempio data un gruppo di matrici come si fa a capire se questo gruppo è ciclico? Ipotizzando una matrice 2x2 in cui ogni elemento ha un periodo diverso. Vero che questo gruppo non è ciclico?

[killing_buddha]

Non credo ci sia un procedimento generale diverso da: prova a smentire una per una le proprietà di un gruppo ciclico. Per esempio, chiaramente se $G\le GL_n(K)$ non è abeliano non può essere ciclico. Se ha più di una infinità numerabile di elementi, non può essere ciclico. Se $G$ è finito, ed esiste un divisore dell'ordine del gruppo per cui non c'è un sottogruppo di quell'ordine in $G$, allora $G$ non è ciclico. Eccetera. Probabilmente analizzando come ti è stato dato il gruppo è facile ragionare in un modo piu focalizzato.

[Mappers1998]

Il gruppo che mi er stato dato era una matrice =
{(a b ∈ M2(Z5) / a appartiente a Z5 (degli invertibili secondo la moltiplicazione quindi 1 2 3 4 )
0 1)
Chiedo scusa per la scrittura ma non so ancora usare il LaTex

[killing_buddha]

Non è abeliano, non può essere ciclico.