Come brassica oleracea si risolve questa?
Mi sto da un po' di tempo arrovellando sulle equazioni nella forma
[tex]x^x+k=0[/tex].
Qualcuno sa come si risolve? Sembra che occorra una nuova operazione (che stia alla tetrazione come l'estrazione di radice sta alla potenza).
[tex]x^x+k=0[/tex].
Qualcuno sa come si risolve? Sembra che occorra una nuova operazione (che stia alla tetrazione come l'estrazione di radice sta alla potenza).
Risposte
Secondo me algebricamente non puoi risolverla....
A parte il caso $k=-1$ , che si ha $x^x=1 => x=1$ ...(che è unica! fatti uno studio della funzione $f : RR-{0}->RR$ def da $AA x in Domf , f(x)=x^x-1$)
mi sa che l'unica maniera è studiarsi $f(x)=x^x+k$ al variare di $k in RR$ ....
dal grafico puoi "intuire" più o meno quali sono li zeri. Da li usi qualche metodo di analisi numerica. che so, newton, successive bisezioni..
A parte il caso $k=-1$ , che si ha $x^x=1 => x=1$ ...(che è unica! fatti uno studio della funzione $f : RR-{0}->RR$ def da $AA x in Domf , f(x)=x^x-1$)
mi sa che l'unica maniera è studiarsi $f(x)=x^x+k$ al variare di $k in RR$ ....
dal grafico puoi "intuire" più o meno quali sono li zeri. Da li usi qualche metodo di analisi numerica. che so, newton, successive bisezioni..
Dato che $x^x$ lo posso vedere come $e^(xlogx)$ allora possiamo dire che $e^(xlogx)=-k$ potrebbe avere soluzione solo per $k<0$, dato che la funzione esponenziale è sempre positiva. Poi bisogna passare allo studio grafico, dato che non si sono metodi algebrici in generale per farlo. Studia la funzione $e^(xlogx)$ e vedi quando interseca $y=-k$
@Caenorhabditis: Ovviamente, equazioni di quel tipo non sono risolubili elementarmente.
Nel campo complesso esiste la funzione \(W\) di Lambert (anche qui), che è stata "inventata" per rispondere a quesiti molto simili a quello posto.
Nel campo complesso esiste la funzione \(W\) di Lambert (anche qui), che è stata "inventata" per rispondere a quesiti molto simili a quello posto.
Studiando la funzione y = \(\displaystyle x ^x \) definita per ogni x > 0 e cercando i punti stazionari se ne ottiene uno per x=1/e , punto che dimostra di essere un minimo di valore y = \(\displaystyle e^(-1/e) \) . Per cui la funzione x\(\displaystyle ^x \) non potrà mai assumere valori minori di \(\displaystyle e^(-1/e) \) . Quindi si evince che l'equazione y = \(\displaystyle x^x \) + k ha soluzione solo se k < - \(\displaystyle e^(-1/e) \).
Questa è la sola cosa che posso dirti. Spero ti sia stato utile ciao.
Questa è la sola cosa che posso dirti. Spero ti sia stato utile ciao.
Grazie a tutti per le risposte.
È sicuro che non esistano algoritmi come quelli per la radice quadrata, per [tex]^{1/2}(-k)[/tex]?
È sicuro che non esistano algoritmi come quelli per la radice quadrata, per [tex]^{1/2}(-k)[/tex]?
Per algoritmo intendi una sorta di formula?
Se si, allora la risposta è negativa. Ci sono casi semplici e casi complessi ma in linea generale si procede sempre per via grafica.
Se si, allora la risposta è negativa. Ci sono casi semplici e casi complessi ma in linea generale si procede sempre per via grafica.
Spiego meglio il mio riferimento alla funzione di Lambert.
Innanzitutto, si vede che, per avere senso e qualche soluzione, nell'equazione deve essere \(x>0\) e \(k<0\); pertanto si può introdurre la variabile ausiliaria \(w:=\ln x\) e riscrivere l'equazione \(x^x+k=0\) come:
\[
w\ e^w = \ln |k|\; ;
\]
dato che la funzione \(W\) di Lambert è la funzione inversa di \(w\mapsto w\ e^w\), la soluzione della precedente si scrive:
\[
w=W(\ln |k|)
\]
sicché:
\[
x=e^{W(\ln |k|)}\; .
\]
Dalla relazione appena scritta segue che \(x\) non può essere espressa in funzione di \(k\) per mezzo di funzioni elementari.
Innanzitutto, si vede che, per avere senso e qualche soluzione, nell'equazione deve essere \(x>0\) e \(k<0\); pertanto si può introdurre la variabile ausiliaria \(w:=\ln x\) e riscrivere l'equazione \(x^x+k=0\) come:
\[
w\ e^w = \ln |k|\; ;
\]
dato che la funzione \(W\) di Lambert è la funzione inversa di \(w\mapsto w\ e^w\), la soluzione della precedente si scrive:
\[
w=W(\ln |k|)
\]
sicché:
\[
x=e^{W(\ln |k|)}\; .
\]
Dalla relazione appena scritta segue che \(x\) non può essere espressa in funzione di \(k\) per mezzo di funzioni elementari.
D'accordo. Forse non c'entra niente, ma come fanno i calcolatori ad estrarre le radici?
Infatti non c'entra nulla.
Ad ogni modo, ogni buon software si calcolo conosce quanto meno il metodo di bisezione.
Ad ogni modo, ogni buon software si calcolo conosce quanto meno il metodo di bisezione.
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