Combinazione lineare di vettori

[paloppa]

Salve a tutti,a breve sosterrò una prova di Matematica disxreta e stavo provando a fare un esercizio.
L'esercizio è il seguente.
Dati 4 vettori : v1 (1,1,2) v2 (2,4,6) v3 (1,2,5) v4 (1,1,10) dire se v4 si può scrivere come combinazione lineare degli altri 3.
Allora io ho ragionato cosi. Intanto ho visto se vale il teorema di rauche-capelli
Risolvendo la matrice ottengo che è compatibile quindi il sistema ammette soluzioni. In questo caso è una e una sola. Dato che il sistema ammette soluzioni risolvo il sistema con le tre incognite e scrivo per esempio a+2b+c=1 ecc
Trovo a,b,c e mi viene che v4 si puo scrivere come a=1 b=-2 c=4

Giusto??

[garnak.olegovitc1]

@paloppa,

"paloppa":Salve a tutti,a breve sosterrò una prova di Matematica disxreta e stavo provando a fare un esercizio.
L'esercizio è il seguente.
Dati 4 vettori : v1 (1,1,2) v2 (2,4,6) v3 (1,2,5) v4 (1,1,10) dire se v4 si può scrivere come combinazione lineare degli altri 3.
Allora io ho ragionato cosi. Intanto ho visto se vale il teorema di rauche-capelli

su quale sistema lineare hai applicato il teorema? (piccolo suggerrimento, premetto di non avere fatto i calcoli, se ci pensi un attimo ti basta verificare se \(v_4 \in \operatorname{Span}((v_1,v_2,v_3))\)... semplicemente applicare la def. dalla quale bla bla bla.. )

[herstein]

$ v1 (1,1,2) v2 (2,4,6) v3 (1,2,5) v4 (1,1,10) $
per far si che il vettore $ v4 (1,1,10) $ possa essere scritto come combinazione lineare degli altri 3 bisogna dimostrare la lineare indipendenza dei 3 vettori rimanenti.
Ora, per fare ciò ci sono tantissimi metodi, ti consiglio di costruirti una matrice che ha per colonne i vettori v1, v2 ,v3 in questo caso:
$ ( ( 1 , 2 , 1 ),(1 , 4 , 2 ),( 2 , 6 , 5 ) ) $
calcola il rango se è massimo vuol dire che sono linearmente indipendenti, essendo il determinante uguale a 4(fai i calcoli)
ne si deduce che il rango è massimo quindi i 3 vettori sono linearmente indipendenti