Coefficienti binomiali.
Navigando sulla rete mi sono imbattuto in
questo problema:
Trovare il numero M dei coefficienti dispari
nello sviluppo polinomiale di (x+1)^n
(n intero positivo)
Personalmente sono riuscito a trovare solo qualche
(insoddisfacente) risultato parziale ,calcolato
piu' che altro in modo euristico.Per es. sembra
che nel caso di n=2^k (k>0) risulti costantemente M=2
ed altri casi che non ho provato fino in fondo.
Forse la mia strategia e' sbagliata:
volete provare voi a trovare una soluzione completa ?
karl.
questo problema:
Trovare il numero M dei coefficienti dispari
nello sviluppo polinomiale di (x+1)^n
(n intero positivo)
Personalmente sono riuscito a trovare solo qualche
(insoddisfacente) risultato parziale ,calcolato
piu' che altro in modo euristico.Per es. sembra
che nel caso di n=2^k (k>0) risulti costantemente M=2
ed altri casi che non ho provato fino in fondo.
Forse la mia strategia e' sbagliata:
volete provare voi a trovare una soluzione completa ?
karl.
Risposte
Auguri per i 500... 
Ringrazio sentitamente.
karl.
karl.
Mi sembra difficile poter dare una risposta con un n generico...
Confermo che nel caso di n = 2^k risulti costantemente M=2 e aggiungerei banalmente M=n per n = 2^k - 1, M = 4 per n = 2^k + 1 e così via...
Confermo che nel caso di n = 2^k risulti costantemente M=2 e aggiungerei banalmente M=n per n = 2^k - 1, M = 4 per n = 2^k + 1 e così via...
Sono d'accordo, trovare una formula generale per n mi sembra arduo.
Per il momento mi accontento di un formula iterativa che ricostruisce il triangolo di Tartaglia a partire da n = 1 con la regola ovvia (P=pari, D=dispari) :
P + P = P
P + D = D
D + P = D
D + D = P
La formula può essere ottimizzata notando che si presentano tutti D quando n = 2^m-1 .
La formula è trasformabile in un semplicissimo programmino al computer per cui mi considero soddisfatto.
Naturalmente c'è di mezzo il "tempo macchina" che cresce al crescere di n , onde la soluzione non è il massimo dal punto di vista matematico, ma chi si accontenta ... gode.
Bye.
ps. poi l'analisi combinatoria non mi ha mai entusiasmato ...
Per il momento mi accontento di un formula iterativa che ricostruisce il triangolo di Tartaglia a partire da n = 1 con la regola ovvia (P=pari, D=dispari) :
P + P = P
P + D = D
D + P = D
D + D = P
La formula può essere ottimizzata notando che si presentano tutti D quando n = 2^m-1 .
La formula è trasformabile in un semplicissimo programmino al computer per cui mi considero soddisfatto.
Naturalmente c'è di mezzo il "tempo macchina" che cresce al crescere di n , onde la soluzione non è il massimo dal punto di vista matematico, ma chi si accontenta ... gode.
Bye.
ps. poi l'analisi combinatoria non mi ha mai entusiasmato ...
Andando piu' che altro ad intuito e senza pretese
di verita' matematica,sarei giunto a questa conclusione:
Sia M il numero dei coeff. dispari ,risulta che:
M=2^k
essendo k il numero degli addendi che figurano nella scomposizione
di n nella somma di potenze del 2
Faccio qualche esempio:
0)n=7
n=2^2+2^1+2^0,k=3--->M=2^3=8
1)n=9
n=2^3+2^0,k=2---->M=2^2=4
2)n=11
n=2^3+2^1+2^0,k=3---->M=2^3=8
3)n=16
n=2^4,k=1----->M=2^1=2
In maniera piu' "scientifica" si potrebbe dire che k corrisponde
al numero delle cifre "1" che compaiono nella rappresentazione
binaria del numero n.
Forse si puo' tentare una dimostrazione per induzione completa:
ma come?
karl.
di verita' matematica,sarei giunto a questa conclusione:
Sia M il numero dei coeff. dispari ,risulta che:
M=2^k
essendo k il numero degli addendi che figurano nella scomposizione
di n nella somma di potenze del 2
Faccio qualche esempio:
0)n=7
n=2^2+2^1+2^0,k=3--->M=2^3=8
1)n=9
n=2^3+2^0,k=2---->M=2^2=4
2)n=11
n=2^3+2^1+2^0,k=3---->M=2^3=8
3)n=16
n=2^4,k=1----->M=2^1=2
In maniera piu' "scientifica" si potrebbe dire che k corrisponde
al numero delle cifre "1" che compaiono nella rappresentazione
binaria del numero n.
Forse si puo' tentare una dimostrazione per induzione completa:
ma come?
karl.
Geniale karl !!!
Ho verificato la tua formula al computer fino a n = 22. Poi ho dei problemi strani di conversione tipi dati per cui devo rifare il programma.
Direi a questo punto che la formula richiede solo una verifica rigorosa.
Bye.
Modificato da - arriama il 23/03/2004 21:59:29
Modificato da - arriama il 23/03/2004 23:18:19
Ho verificato la tua formula al computer fino a n = 22. Poi ho dei problemi strani di conversione tipi dati per cui devo rifare il programma.
Direi a questo punto che la formula richiede solo una verifica rigorosa.
Bye.
Modificato da - arriama il 23/03/2004 21:59:29
Modificato da - arriama il 23/03/2004 23:18:19
Il computer conferma !!!
Mi sono spinto fino a n = 500 (crepi l'avarizia !).
Per la dimostrazione pensavo che potrebbe entrarci il fatto che le regole di composizione dei Pari e Dispari :
P + P = P
P + D = D
D + P = D
D + D = P
sono analoghe alla regola della somma in binario :
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Però mi fermo qui ... preferisco le funzioni, integrali ecc.
Complimenti ancora per la brillante soluzione, karl.
Bye.
Mi sono spinto fino a n = 500 (crepi l'avarizia !).
Per la dimostrazione pensavo che potrebbe entrarci il fatto che le regole di composizione dei Pari e Dispari :
P + P = P
P + D = D
D + P = D
D + D = P
sono analoghe alla regola della somma in binario :
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Però mi fermo qui ... preferisco le funzioni, integrali ecc.
Complimenti ancora per la brillante soluzione, karl.
Bye.
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