Classificazione gruppi ordine 12

[nick_10]

Ciao a tutti
Stavo svolgendo un esercizio che mi chiedeva di classificare un gruppo di ordine 12 e ho avuto qualche dubbio. Io ho iniziato cosi...
allora $12=2^2*3$ e indicando con $P_2$ e $P_3$ rispettivamente i 2-sylow e i 3-sylow so per quanto riguarda il loro numero che: $n_3 -= 1 (3)$ e $n_3 | 12$ quindi $n_3=1, 4$
$n_2 -= 1 (2)$ e $n_2 | 12$ quindi $n_2=1, 3$
Osservo anche che necessariamente uno fra un 2-sylow e un 3-sylow è normale
(Se $P_3$ non fosse normale allora avrei 4 3-Sylow e contando gli elementi giungo alla conclusione che $P_2$ è normale in $G$)
Il caso G abeliano dovrebbe sistemarsi, a meno di isomorfismo, coi due gruppi $ZZ_(/4ZZ) xx ZZ_(/3ZZ)$ e $ZZ_(/2ZZ) xx ZZ_(/2ZZ) xx ZZ_(/3ZZ) $.
Nel caso G non abeliano costruisco i prodotti semidiretti distinguendo i casi in cui il $P_2$ o il $P_3$ sia normale
Se il 2-Sylow fosse normale, costruisco:
1) $ZZ_(/4ZZ) rtimes ZZ_(/3ZZ)$ tramite $phi : ZZ_(/3ZZ) to Aut(ZZ_(/4ZZ)) ~= (ZZ_(/2ZZ))$
quindi posso mandare l'1 soltanto nell'id, quindi il prodotto è diretto e il gruppo è abeliano.
2)$ZZ_(/2ZZ) xx ZZ_(/2ZZ) rtimes ZZ_(/3ZZ)$ tramite $phi:ZZ_(/3ZZ) to Aut(ZZ_(/2ZZ) xx ZZ_(/2ZZ))~= S_3$
Qui invece posso mandare se non sbaglio l'1 in $sigma$ e $(sigma)^2$ con $sigma$ 3-ciclo di $S_3$
La mia domanda è questa qui:ottengo due gruppi isomorfi o no? E posso caratterizzare il gruppo/i in qualche modo?

[Shocker1]

Quindi siamo studiando i semidiretti del tipo $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} rtimes ZZ_(/3ZZ)$, vabbè intanto studiamo $\phi: \mathbb{Z_3} \to S_3 = GL(2, \mathbb{Z_2}) = Aut(\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2})$(sono isomorfimsi), allora o mandi $1$ nell'identità(e hai il diretto) o mandi l'elemento di ordine $1$ in uno dei due $3-cicli$(o nelle matrici 2x2 di ordine molitplicativo $3$ a coefficienti in $\mathbb{Z_2}$). Quindi abbiamo $\phi_1: \mathbb{Z_3} \to S_3$ che manda $1$ in $(1, 2, 3)$ e $\phi_2: \mathbb{Z_3} \to S_3$ che manda $1$ in $(1, 3, 2)$. Un buon punto di partenza è osservare che $\phi_1([1]_3) = \phi_2( \psi([1]_3))$ dove $\psi: \mathbb{Z_3} \to \mathbb{Z_3}$ è un omo. di gruppi che manda ogni elemento nel suo inverso additivo. Da qui, a pelle, come continueresti?

[nick_10]

Io vorrei dimostrare che le due possibili $phi$ danno gruppi isomorfi. Avevo pensato di agire per coniugio sui 4 3-Sylow:
$varphi: G to S_4 = S(X)$ con $X$ l'insieme dei 3-Sylow di G
e magari da qui studiare la $varphi$ (mi avvicinerei ,forse, perchè voglio dimostrare che G è isomorfo ad $A_4$)

[Shocker1]

Ma secondo me, sapendo la relazione fra $\phi_1$ e $\phi_2$ riesci a costruire un isomorfismo. Provaci!

[nick_10]

Quindi quello che mi chiedo è se $ZZ_2 xx ZZ_2 rtimes_(phi_1) ZZ_3 ~= ZZ_2 xx ZZ_2 rtimes_(phi_2) ZZ_3 $. Prendendo in considerazione il tuo aiuto, ovvero che $phi_1= phi_2 circ psi$, posso considerare la mappa
$alpha:$ $ZZ_2 xx ZZ_2 rtimes_(phi_1) ZZ_3$ $to$ $ZZ_2 xx ZZ_2 rtimes_(phi_2) ZZ_3 $ che manda:
$(h,k)$ $to$ $(h,psi(k))$
Effettivamente $alpha$ è un isomorfismo; ora pero non mi è molto chiaro il fatto che $phi_1= phi_2 circ psi$.
Poi vorrei dimostrare che il gruppo sia effettivamente $A_4$

[Shocker1]

"nick_10":Quindi quello che mi chiedo è se $ZZ_2 xx ZZ_2 rtimes_(phi_1) ZZ_3 ~= ZZ_2 xx ZZ_2 rtimes_(phi_2) ZZ_3 $. Prendendo in considerazione il tuo aiuto, ovvero che $phi_1= phi_2 circ psi$, posso considerare la mappa
$alpha:$ $ZZ_2 xx ZZ_2 rtimes_(phi_1) ZZ_3$ $to$ $ZZ_2 xx ZZ_2 rtimes_(phi_2) ZZ_3 $ che manda:
$(h,k)$ $to$ $(h,psi(k))$
Effettivamente $alpha$ è un isomorfismo; ora pero non mi è molto chiaro il fatto che $phi_1= phi_2 circ psi$.
Poi vorrei dimostrare che il gruppo sia effettivamente $A_4$

L'isomorfismo è giusto, riguardo all'uguaglianza fra omomorfismi hai che $ \phi_1: \mathbb{Z_3} \to S_3 $ e $\phi_2 \circ \psi: \mathbb{Z_3} \to S_3$, dove $\psi : \mathbb{Z_3} \to \mathbb{Z_3}$ manda ogni elemento nell'inverso.
I due omomorfismi coincidono su un generatore $\phi_1( [1]_3) = \phi_2(\psi([1]_3))$ e poiché il dominio è cicliclo allora coincidono in ogni punto di $\mathbb{Z_3}$.
Al momento non ho un'idea furba per dimostrare che sia $A_4$, le uniche cose che mi vengono in mente sono: esplicitare un isomorfismo oppure, dando per buona la classificazione dei gruppi di ordine $12$, dimostrare che $ \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} rtimes ZZ_(3) $ è diverso da ogni gruppo diverso da $A_4$, non so se mi sono spiegato. Un'altra via sarebbe trovare le relazione che caratterizzano il tuo gruppo e dimostrare che sono le stesse che caratterizzano $A_4$

[nick_10]

Nel frattempo...continuando invece nel caso del 3-Sylow normale ho i casi:
$ZZ_(3) rtimes_phi ZZ_(4)$ $phi: ZZ_4 to Aut(ZZ_3) =ZZ_2$ che manda $[1]$ in $-id$ ottenendo il gruppo non abeliano dato dal
semidiretto scritto sopra
$ZZ_3 rtimes_phi ZZ_2 xx ZZ_2$ $phi: ZZ_2 xx ZZ_2 to Aut(ZZ_3) =ZZ_2$ . Qui a parte la $phi$ banale, potrei mandare $(1,0)$ in $1$ e $(0,1)$ in $0$. Il primo coniuga $ZZ_3$ mandando ogni elemento nell’inverso e $(0,1)$ commuta con $ZZ_3$. Quindi ho $ZZ_2 xx D_3$ che dovrebbe essere isomorfo a $D_6$