Classificare gruppi di ordine 66
Buonasera a tutti,
ho un dubbio su un esercizio di teoria dei gruppi. Devo classificare un gruppo di ordine 66, e per farlo ho prima trovato che ha un sottogruppo ciclico di ordine 33 e poi ho fatto il prodotto semidiretto col restante sottogruppo di ordine 2. Qui trovo due omomorfismi da [tex]\mathbb Z_2[/tex] a Aut[tex](\mathbb Z_{33})[/tex], che è isomorfo a [tex]\mathbb Z_{20}[/tex]: uno è quello banale, che dunque mi dà il gruppo ciclico di ordine 66, l'altro invece è l'omomorfismo che manda [tex][1][/tex] (mod 2) in [tex][10][/tex] (mod 20). A questo punto dovrei esplicitare questo secondo gruppo di ordine 66, ma non so come procedere... Consigli?
ho un dubbio su un esercizio di teoria dei gruppi. Devo classificare un gruppo di ordine 66, e per farlo ho prima trovato che ha un sottogruppo ciclico di ordine 33 e poi ho fatto il prodotto semidiretto col restante sottogruppo di ordine 2. Qui trovo due omomorfismi da [tex]\mathbb Z_2[/tex] a Aut[tex](\mathbb Z_{33})[/tex], che è isomorfo a [tex]\mathbb Z_{20}[/tex]: uno è quello banale, che dunque mi dà il gruppo ciclico di ordine 66, l'altro invece è l'omomorfismo che manda [tex][1][/tex] (mod 2) in [tex][10][/tex] (mod 20). A questo punto dovrei esplicitare questo secondo gruppo di ordine 66, ma non so come procedere... Consigli?
Risposte
Quello che manda 1 in 10 e' l'inversione, quindi ottieni il gruppo diedrale di ordine 66. Comunque l'esercizio l'hai finito: una volta che dici qual e' l'omomorfismo [tex]C_2 \to \text{Aut}(C_{33})[/tex] il prodotto semidiretto e' completamente determinato, non serve aggiungere altro.
Attento: [tex]\text{Aut}(\mathbb{Z}_{33})[/tex] non è isomorfo a [tex]\mathbb{Z}_{20}[/tex] ma a [tex]\mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_2[/tex]. Quindi oltre a 1 e l'inversione hai altri due omomorfismi possibili.
"Martino":
Attento: [tex]\text{Aut}(\mathbb{Z}_{33})[/tex] non è isomorfo a [tex]\mathbb{Z}_{20}[/tex] ma a [tex]\mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_2[/tex]. Quindi oltre a 1 e l'inversione hai altri due omomorfismi possibili.
Mmm, ma in generale non vale [tex]\text{Aut}(\mathbb{Z}_{n})\cong\mathbb{Z}_n^*\cong\mathbb{Z}_{\phi(n)}[/tex], dove la [tex]\phi[/tex] è la funzione di Eulero?
No. E' vero che [tex]|\text{Aut}(\mathbb{Z}_n)| = \varphi(n)[/tex] ma in generale [tex]\text{Aut}(\mathbb{Z}_n)[/tex] non e' ciclico. Vedi qui.
Giusto, giusto, giusto. [tex]Aut(\mathbb{Z}_{33})\cong Aut(\mathbb{Z}_3\ \times\ \mathbb{Z}_{11})\cong\mathbb{Z}_2\ \times\ \mathbb{Z}_{10}[/tex]. In ogni caso, torno alla mia domanda iniziale. Sono d'accordo che elencando i possibili omomorfismi il lavoro è finito, ma se volessi elencare esplicitamente i gruppi che compaiono nel prodotto semidiretto? Dovrei riuscire a fare dei ragionamenti sugli ordini degli elementi, per potermi ricondurre, se possibile, a qualcosa di noto. Però non riesco a eseguire questa operazione. Potreste aiutarmi? Io ho trovato i seguenti omomorfismi, da [tex]\mathbb{Z}_2[/tex] a [tex]\mathbb{Z}_2\ \times\ \mathbb{Z}_{10}[/tex]:
[tex]\psi_1[/tex]: omomorfismo nullo, prodotto diretto.
[tex]\psi_2[/tex]: [tex][1]_2 \mapsto ([1]_2,[0]_{10})[/tex];
[tex]\psi_3[/tex]: [tex][1]_2 \mapsto ([0]_2,[5]_{10})[/tex];
[tex]\psi_4[/tex]: [tex][1]_2 \mapsto ([1]_2,[5]_{10})[/tex].
Dagli ultimi tre omomorfismi, come faccio a determinare a quali gruppi danno luogo i relativi prodotti semidiretti?
[tex]\psi_1[/tex]: omomorfismo nullo, prodotto diretto.
[tex]\psi_2[/tex]: [tex][1]_2 \mapsto ([1]_2,[0]_{10})[/tex];
[tex]\psi_3[/tex]: [tex][1]_2 \mapsto ([0]_2,[5]_{10})[/tex];
[tex]\psi_4[/tex]: [tex][1]_2 \mapsto ([1]_2,[5]_{10})[/tex].
Dagli ultimi tre omomorfismi, come faccio a determinare a quali gruppi danno luogo i relativi prodotti semidiretti?
Ti vorrei ripetere che una volta che hai specificato l'omomorfismo il prodotto semidiretto e' completamente determinato e non serve aggiungere altro. Se ti chiedono di essere ancora piu' esplicito allora puoi provare ad esprimere i quattro gruppi in termini di gruppi "noti". E' questo che vuoi fare?
In tal caso...
[tex]\psi_1[/tex] da' luogo ad un gruppo abeliano e quindi ciclico (cf. il teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti),
[tex]\psi_4[/tex] da' luogo al gruppo diedrale di ordine 66, [tex]D_{66}[/tex], dato che l'azione e' per inversione.
Per gli altri due ti puoi basare sulle seguenti osservazioni:
Osservazione 1. Se un gruppo [tex]G[/tex] ammette un sottogruppo centrale [tex]H[/tex] complementato da [tex]K[/tex] allora [tex]G \cong H \times K[/tex]. In altre parole, se esistono [tex]H \leq G[/tex] centrale (cioe' contenuto nel centro di [tex]G[/tex]) e [tex]K \leq G[/tex] tale che [tex]H \cap K= \{1\}[/tex] e [tex]HK=G[/tex] allora [tex]G \cong H \times K[/tex]. Questo segue dal fatto che un tale [tex]K[/tex] e' necessariamente normale, e' facile dimostrarlo.
Osservazione 2. Se [tex]G[/tex] e' un gruppo non abeliano e [tex]H[/tex] e' un suo sottogruppo centrale allora [tex]G/H[/tex] non e' ciclico.
Non e' difficile dimostrarlo.
Ora...
Sia [tex]G[/tex] il gruppo relativo a [tex]\psi_2[/tex]. L'11-Sylow di [tex]G[/tex] e' centrale (ovvio), ed esiste un sottogruppo di ordine 6 (il prodotto del 3-Sylow, che e' normale, con un 2-Sylow), quindi [tex]G \cong C_{11} \times K[/tex] con [tex]|K|=6[/tex]. Siccome [tex]G[/tex] non e' abeliano, [tex]K[/tex] non e' ciclico e quindi [tex]K \cong S_3[/tex] e in definitiva [tex]G \cong C_{11} \times S_3[/tex].
Sia [tex]G[/tex] il gruppo relativo a [tex]\psi_3[/tex]. Il 3-Sylow di [tex]G[/tex] e' centrale (ovvio), ed esiste un sottogruppo di ordine 22 (il prodotto dell'11-Sylow, che e' normale, con un 2-Sylow), quindi [tex]G \cong C_3 \times K[/tex] con [tex]|K|=22[/tex]. Siccome [tex]G[/tex] non e' abeliano, [tex]K[/tex] non e' ciclico e quindi [tex]K \cong D_{22}[/tex] e in definitiva [tex]G \cong C_3 \times D_{22}[/tex].
In tal caso...
[tex]\psi_1[/tex] da' luogo ad un gruppo abeliano e quindi ciclico (cf. il teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti),
[tex]\psi_4[/tex] da' luogo al gruppo diedrale di ordine 66, [tex]D_{66}[/tex], dato che l'azione e' per inversione.
Per gli altri due ti puoi basare sulle seguenti osservazioni:
Osservazione 1. Se un gruppo [tex]G[/tex] ammette un sottogruppo centrale [tex]H[/tex] complementato da [tex]K[/tex] allora [tex]G \cong H \times K[/tex]. In altre parole, se esistono [tex]H \leq G[/tex] centrale (cioe' contenuto nel centro di [tex]G[/tex]) e [tex]K \leq G[/tex] tale che [tex]H \cap K= \{1\}[/tex] e [tex]HK=G[/tex] allora [tex]G \cong H \times K[/tex]. Questo segue dal fatto che un tale [tex]K[/tex] e' necessariamente normale, e' facile dimostrarlo.
Osservazione 2. Se [tex]G[/tex] e' un gruppo non abeliano e [tex]H[/tex] e' un suo sottogruppo centrale allora [tex]G/H[/tex] non e' ciclico.
Non e' difficile dimostrarlo.
Ora...
Sia [tex]G[/tex] il gruppo relativo a [tex]\psi_2[/tex]. L'11-Sylow di [tex]G[/tex] e' centrale (ovvio), ed esiste un sottogruppo di ordine 6 (il prodotto del 3-Sylow, che e' normale, con un 2-Sylow), quindi [tex]G \cong C_{11} \times K[/tex] con [tex]|K|=6[/tex]. Siccome [tex]G[/tex] non e' abeliano, [tex]K[/tex] non e' ciclico e quindi [tex]K \cong S_3[/tex] e in definitiva [tex]G \cong C_{11} \times S_3[/tex].
Sia [tex]G[/tex] il gruppo relativo a [tex]\psi_3[/tex]. Il 3-Sylow di [tex]G[/tex] e' centrale (ovvio), ed esiste un sottogruppo di ordine 22 (il prodotto dell'11-Sylow, che e' normale, con un 2-Sylow), quindi [tex]G \cong C_3 \times K[/tex] con [tex]|K|=22[/tex]. Siccome [tex]G[/tex] non e' abeliano, [tex]K[/tex] non e' ciclico e quindi [tex]K \cong D_{22}[/tex] e in definitiva [tex]G \cong C_3 \times D_{22}[/tex].
"Martino":
Ti vorrei ripetere che una volta che hai specificato l'omomorfismo il prodotto semidiretto e' completamente determinato e non serve aggiungere altro. Se ti chiedono di essere ancora piu' esplicito allora puoi provare ad esprimere i quattro gruppi in termini di gruppi "noti". E' questo che vuoi fare?
Proprio questo! Infatti come avevo già detto, so bene che una volta trovati gli omomorfismi i prodotti semidiretti sono determinati, ma volevo provare appunto a ricondurmi a gruppi noti, se di ordine piccolo...
"Martino":
In tal caso...
[tex]\psi_1[/tex] da' luogo ad un gruppo abeliano e quindi ciclico (cf. il teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti),
[tex]\psi_4[/tex] da' luogo al gruppo diedrale di ordine 66, [tex]D_{66}[/tex], dato che l'azione e' per inversione.
Per gli altri due ti puoi basare sulle seguenti osservazioni:
Osservazione 1. Se un gruppo [tex]G[/tex] ammette un sottogruppo centrale [tex]H[/tex] complementato da [tex]K[/tex] allora [tex]G \cong H \times K[/tex]. In altre parole, se esistono [tex]H \leq G[/tex] centrale (cioe' contenuto nel centro di [tex]G[/tex]) e [tex]K \leq G[/tex] tale che [tex]H \cap K= \{1\}[/tex] e [tex]HK=G[/tex] allora [tex]G \cong H \times K[/tex]. Questo segue dal fatto che un tale [tex]K[/tex] e' necessariamente normale, e' facile dimostrarlo.
Osservazione 2. Se [tex]G[/tex] e' un gruppo non abeliano e [tex]H[/tex] e' un suo sottogruppo centrale allora [tex]G/H[/tex] non e' ciclico.
Non e' difficile dimostrarlo.
Ora...
Sia [tex]G[/tex] il gruppo relativo a [tex]\psi_2[/tex]. L'11-Sylow di [tex]G[/tex] e' centrale (ovvio), ed esiste un sottogruppo di ordine 6 (il prodotto del 3-Sylow, che e' normale, con un 2-Sylow), quindi [tex]G \cong C_{11} \times K[/tex] con [tex]|K|=6[/tex]. Siccome [tex]G[/tex] non e' abeliano, [tex]K[/tex] non e' ciclico e quindi [tex]K \cong S_3[/tex] e in definitiva [tex]G \cong C_{11} \times S_3[/tex].
Sia [tex]G[/tex] il gruppo relativo a [tex]\psi_3[/tex]. Il 3-Sylow di [tex]G[/tex] e' centrale (ovvio), ed esiste un sottogruppo di ordine 22 (il prodotto dell'11-Sylow, che e' normale, con un 2-Sylow), quindi [tex]G \cong C_3 \times K[/tex] con [tex]|K|=22[/tex]. Siccome [tex]G[/tex] non e' abeliano, [tex]K[/tex] non e' ciclico e quindi [tex]K \cong D_{22}[/tex] e in definitiva [tex]G \cong C_3 \times D_{22}[/tex].
...dunque ti ringrazio molto!!
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