Classi Di Strutture Assiomatizzabili
Ragazzi Sto affrontando in Logica Matematica esercizi relativi a questo argomento
Per classe Di struttura assiomatizzabile io intendo:
Sia $X$ Una Classe Di Strutture.
$X$ Si dice assiomatizzabile se esiste un insieme di formula chiuse $Sigma$ tale che per ogni L-Struttura $M$ si ha
$M in X$ se e solo se $M$ è un modello di $Sigma$ [Ossia in $M$ sono vere tutte le formule di $Sigma$]
Inoltre se $Sigma$ è Finito allora $X$ si dice finitamente assiomatizzabile
L'esercizio che sto provando a svolgere e' il seguente:
Sia X la classe dei domini di integrita' , Stabilire se e' assiomatizzabile o finitamente assiomatizzabile.
Io Penso sia Finitamente assiomatizzabile perche'
Se prendo $Sigma$ = Assiomi Degli Anelli + $ AA x AAy (x * y = y * x) $ + $ AA x AAy (x * y = 0 rArr (x=0) vv (y=0) )$
Allora $X$ è un Modello per $Sigma$ e $Sigma$ è un insieme Finito
E' Giusto?
Ringrazio anticipatamente
Per classe Di struttura assiomatizzabile io intendo:
Sia $X$ Una Classe Di Strutture.
$X$ Si dice assiomatizzabile se esiste un insieme di formula chiuse $Sigma$ tale che per ogni L-Struttura $M$ si ha
$M in X$ se e solo se $M$ è un modello di $Sigma$ [Ossia in $M$ sono vere tutte le formule di $Sigma$]
Inoltre se $Sigma$ è Finito allora $X$ si dice finitamente assiomatizzabile
L'esercizio che sto provando a svolgere e' il seguente:
Sia X la classe dei domini di integrita' , Stabilire se e' assiomatizzabile o finitamente assiomatizzabile.
Io Penso sia Finitamente assiomatizzabile perche'
Se prendo $Sigma$ = Assiomi Degli Anelli + $ AA x AAy (x * y = y * x) $ + $ AA x AAy (x * y = 0 rArr (x=0) vv (y=0) )$
Allora $X$ è un Modello per $Sigma$ e $Sigma$ è un insieme Finito
E' Giusto?
Ringrazio anticipatamente
Risposte
In sostanza stai dicendo che una struttura si dice dominio di integrità se e solo se per definizione rispetta gli assiomi da te elencati... quindi si, certo che è giusto! 
Ok quindi ho capito bene il concetto di finitamente assiomatizzabile 
Grazie Infinite
Per caso riesci a consigliarmi qualche esercizio relativamente a questo argomento?
Grazie Infinite
Per caso riesci a consigliarmi qualche esercizio relativamente a questo argomento?
Ho cercato qualche esercizio ma su questa cosa in particolare non ho trovato niente. Comunque se vuoi un esempio di una teoria che non è finitamente assiomatizzata penso di non sbagliare se do come esempio la teoria degli insieme ZFC. Infatti in ZFC c'è l'assioma schema di specificazione http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_specification
$\forall w_1,\ldots,w_n \, \forall A \, \exists B \, \forall x \, ( x \in B \Leftrightarrow [ x \in A \wedge \phi(x, w_1, \ldots, w_n, A) ] )$
che come vedi è un generatore di assiomi nel senso che per ogni proprietà $\phi$ ottieni un assioma diverso.
Un altro esempio è nell'Aritmetica di Peano, l'assioma di induzione
$\forall \bar{y} (\phi(0,\bar{y}) \wedge \forall x ( \phi(x,\bar{y})\Rightarrow\phi(S(x),\bar{y})) \Rightarrow \forall x \phi(x,\bar{y}))$
è uno schema che restituisce assiomi in base alla scelta di $\phi$.
$\forall w_1,\ldots,w_n \, \forall A \, \exists B \, \forall x \, ( x \in B \Leftrightarrow [ x \in A \wedge \phi(x, w_1, \ldots, w_n, A) ] )$
che come vedi è un generatore di assiomi nel senso che per ogni proprietà $\phi$ ottieni un assioma diverso.
Un altro esempio è nell'Aritmetica di Peano, l'assioma di induzione
$\forall \bar{y} (\phi(0,\bar{y}) \wedge \forall x ( \phi(x,\bar{y})\Rightarrow\phi(S(x),\bar{y})) \Rightarrow \forall x \phi(x,\bar{y}))$
è uno schema che restituisce assiomi in base alla scelta di $\phi$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo