Classi di equivalenza di 5x^2-y^2 pari
Salve a tutti,
ho la seguente relazione
$xRy iff 5x^2-y^2$ è pari
Devo inanzi tutto scoprire se è di equivalenza.
Riflessività:
Sia $x in ZZ$ $xRx iff 5x^2-x^2$ è pari
Io inizio dicendo che $x^2 in ZZ$ è sempre pari;
$5$ per un numero pari è ancora pari;
Un numero pari meno un numero pari mi darà comunque un numero pari;
Quindi $R$ è riflessiva.
Simmetria:
E' simmetrica perchè $AA x,y in ZZ$ $x^2$ e $y^2$ saranno sempre e comunque numeri pari, quindi anche scambiandoli di posto, dato che li eleviamo al quadrato, la relazione sarà comunque rispettata;
Transitività:
Supponiamo $x,y,z in ZZ$ ed $xRy$ ed $yRz$, per dimostrarel a transitività dobbiamo dimostrare che anche $xRz$. Ma abbiamo già detto, anche nella simmetria, che i numeri li eleviamo al quadrato e quindi se metti un numero pari, se metti un numero dispari, diventeranno sempre pari e quindi come risultato, qualsiasi numero metti in $ZZ$ avrai comunque un numero pari.
Essendo $R$ Riflessiva, Simmetrica e transitiva allora è anche di Equivalenza.
Ora dobbiamo calcolarci le classi di equivalenza di $xRy iff 5x^2-y^2$ è pari
Quindi dico che $[x]_R = {y in ZZ| 5x^2-y^2$ è pari$}$
Provo a prendere quindi un intero pari, ad esempio $0$ ed ho:
$[0]_R = {y in ZZ| 50^2-y^2$ è pari$}$
A questo punto mi devo chiedere quali numeri in relazione con $0$ mi soddisfano la relazione? abbiamo detto che "tutti i numeri in $ZZ$ elevati al quadrato alla fine diventano sempre pari" e quindi posso dire che $0$ è in relazione con tutto $ZZ$ e quindi abbiamo una sola classe che è identificata da $0$ e tutte le altre saranno uguali a questa, no?
Posso quindi scrivere che $ZZ$/R $= {[0]_R}$ ?
cioè è giusto il procedimento logico di vedere "tutti i numweri che possono essere messi in relazione con $0$ sono quindi nella stessa classe di $0$ e non essendoci numeri non in relazione con $0$ allora non ci sono altre classi?$
ho la seguente relazione
$xRy iff 5x^2-y^2$ è pari
Devo inanzi tutto scoprire se è di equivalenza.
Riflessività:
Sia $x in ZZ$ $xRx iff 5x^2-x^2$ è pari
Io inizio dicendo che $x^2 in ZZ$ è sempre pari;
$5$ per un numero pari è ancora pari;
Un numero pari meno un numero pari mi darà comunque un numero pari;
Quindi $R$ è riflessiva.
Simmetria:
E' simmetrica perchè $AA x,y in ZZ$ $x^2$ e $y^2$ saranno sempre e comunque numeri pari, quindi anche scambiandoli di posto, dato che li eleviamo al quadrato, la relazione sarà comunque rispettata;
Transitività:
Supponiamo $x,y,z in ZZ$ ed $xRy$ ed $yRz$, per dimostrarel a transitività dobbiamo dimostrare che anche $xRz$. Ma abbiamo già detto, anche nella simmetria, che i numeri li eleviamo al quadrato e quindi se metti un numero pari, se metti un numero dispari, diventeranno sempre pari e quindi come risultato, qualsiasi numero metti in $ZZ$ avrai comunque un numero pari.
Essendo $R$ Riflessiva, Simmetrica e transitiva allora è anche di Equivalenza.
Ora dobbiamo calcolarci le classi di equivalenza di $xRy iff 5x^2-y^2$ è pari
Quindi dico che $[x]_R = {y in ZZ| 5x^2-y^2$ è pari$}$
Provo a prendere quindi un intero pari, ad esempio $0$ ed ho:
$[0]_R = {y in ZZ| 50^2-y^2$ è pari$}$
A questo punto mi devo chiedere quali numeri in relazione con $0$ mi soddisfano la relazione? abbiamo detto che "tutti i numeri in $ZZ$ elevati al quadrato alla fine diventano sempre pari" e quindi posso dire che $0$ è in relazione con tutto $ZZ$ e quindi abbiamo una sola classe che è identificata da $0$ e tutte le altre saranno uguali a questa, no?
Posso quindi scrivere che $ZZ$/R $= {[0]_R}$ ?
cioè è giusto il procedimento logico di vedere "tutti i numweri che possono essere messi in relazione con $0$ sono quindi nella stessa classe di $0$ e non essendoci numeri non in relazione con $0$ allora non ci sono altre classi?$
Risposte
Caro ragazzo (/a),
vedo un po' di confusione su questi concetti. Mi riferisco già solo allo studio della relazione, per capire o meno se si tratti di una relazione di equivalenza. Vediamo di fare un po' di ordine, anche se comunque ti consiglio di rivedere per bene il tuo libro di teoria per qualche chiarimento.
Anzitutto, non hai precisato su che insieme hai dato questa relazione, ma credo si parli di tutto $ZZ$ (o forse $2ZZ$, cioè solo i numeri pari?).
In ogni caso, tu dici:
Scusami, ma $9 in ZZ$ giusto? E $9=3^2$, concordi? Ma $9$ non è pari. Allora quello che affermi è sbagliato. Ti dico come andrebbe fatto, a volte la soluzione più semplice è talmente semplice
che sfugge:
$5x^2-x^2=4x^2$, per semplice somma di monomi. Ma un multiplo di $4$ (tale è infatti un numero del tipo $4x^2$) come sarà? Prova a dirti la tabellina del $4$, ti accorgerai che tutti i multipli di $4$ sono numeri ..., quindi la relazione è riflessiva.
E' un po' più chiaro adesso?
Prova a risistemare anche la simmetria e la transitività, cercando di essere corretto, pulito e soprattutto formale. Se ragioni e scrivi tutti i passaggi in Algebra non ti puoi sbagliare, fidati.
Buon lavoro.
vedo un po' di confusione su questi concetti. Mi riferisco già solo allo studio della relazione, per capire o meno se si tratti di una relazione di equivalenza. Vediamo di fare un po' di ordine, anche se comunque ti consiglio di rivedere per bene il tuo libro di teoria per qualche chiarimento.
Anzitutto, non hai precisato su che insieme hai dato questa relazione, ma credo si parli di tutto $ZZ$ (o forse $2ZZ$, cioè solo i numeri pari?).
In ogni caso, tu dici:
Riflessività:
Sia $x in ZZ$ $xRx iff 5x^2-x^2$ è pari
Io inizio dicendo che $x^2 in ZZ$ è sempre pari
Scusami, ma $9 in ZZ$ giusto? E $9=3^2$, concordi? Ma $9$ non è pari. Allora quello che affermi è sbagliato. Ti dico come andrebbe fatto, a volte la soluzione più semplice è talmente semplice
che sfugge: $5x^2-x^2=4x^2$, per semplice somma di monomi. Ma un multiplo di $4$ (tale è infatti un numero del tipo $4x^2$) come sarà? Prova a dirti la tabellina del $4$, ti accorgerai che tutti i multipli di $4$ sono numeri ..., quindi la relazione è riflessiva.
E' un po' più chiaro adesso?
Prova a risistemare anche la simmetria e la transitività, cercando di essere corretto, pulito e soprattutto formale. Se ragioni e scrivi tutti i passaggi in Algebra non ti puoi sbagliare, fidati.
Buon lavoro.
Già, effettivamente a fare i calcoli "alla veloce" ho scritto una cavolata, mentre se me li calcolavo in maniera algebrica non posso sbagliarmi.
Riguardo alla confusione su queste relazioni, effettivamente un pò c'è (a parte all'errore grossolano per essere giunto ad una conclusione senza fare i calcoli), però il libro è molto criptico, gli appunti pure, è per questo che piu "che provare a fare qualche esercizio" non so che fare.
A tal proposito se hai qualche dispensa, sito web, how-to, rito wodoo da consigliarmi te ne sarei grato
Riguardo alla confusione su queste relazioni, effettivamente un pò c'è (a parte all'errore grossolano per essere giunto ad una conclusione senza fare i calcoli), però il libro è molto criptico, gli appunti pure, è per questo che piu "che provare a fare qualche esercizio" non so che fare.
A tal proposito se hai qualche dispensa, sito web, how-to, rito wodoo da consigliarmi te ne sarei grato
Allora inanzi tutto vediamo se questa voltaho dimostrato bene che $R$ è di equivalenza, poi se dico bene allora passiamo a trovari l'insieme quoziente.
Piccola premessa: All'inizio volevo dimostrare che un numero è pari se è uguale a $2*h$, poi mi sono trovato meglio nel dire che un numero è pari se è divisibile per 2, visto che $R$ è una relazione in $ZZxZZ$ Dovrebbe essere la stessa cosa no?
Per la riflessività ho fatto come hai detto tu ovvero:
$xRx$ altro non è che $5x^2-x^2=4*x^2$, qui, questo $4*x^2$ posso affermare a rigore che è pari? è simile alla formula $2*h$ che identifica tutti i numeri positivi (almeno in $ZZ$) ?
La simmetria la dimostro così:
Per ipotesi inziale, ovvero la traccia dell'esercizio, so che $5x^2-y^2=2*h$
devo dimostrare $5y^2-x^2$, che posso anche scrivere come $6y^2-y^2-6x^2+5x^2$
Sosituisco qui $5x^2-y^2$ con $2h$ ed ottengo:
$6y^2-6x^2+2h$
Ed anche qui dico che 6, che è un numero pari, moltiplicato per un numero pari o dispari che sia, in $ZZ$, non da comunque un numero pari? e $2h$ invece è la forma canonica per indicare un numero pari, no? Quindi è simmetrica.
Arrivato alla transitività mi trovo di piu a dire che 2 divide la nostra formula, quindi è pari, piuttosto che la nostra formula è uguale a $2*h$:
$AA x,y,z in ZZ$ $xRy$ ^ $yRz$ implicano $xRz$
ovvero $2|5x^2-y^2$ ^ $2|5y^2-z^2$ implica $2|5x^2-z^2$
segue che $2|5x^2-y^2 + 5x^2-z^2$ ma $2|4*y^2$ sicuramente perchè è un numero pari moltiplicato per un'altro numero in $ZZ$ quindi lo possiamo eludere nella nostra formula (ovvero darlo per scontato, no?) ed otteniamo proprio che $2|5x^2-z^2$
E' giusto? è un problema se la transitività l'ho dimostrata in quest'altro modo? come potrei farla per dimostrarla sfruttando la notazione $=2h$ ?
Piccola premessa: All'inizio volevo dimostrare che un numero è pari se è uguale a $2*h$, poi mi sono trovato meglio nel dire che un numero è pari se è divisibile per 2, visto che $R$ è una relazione in $ZZxZZ$ Dovrebbe essere la stessa cosa no?
Per la riflessività ho fatto come hai detto tu ovvero:
$xRx$ altro non è che $5x^2-x^2=4*x^2$, qui, questo $4*x^2$ posso affermare a rigore che è pari? è simile alla formula $2*h$ che identifica tutti i numeri positivi (almeno in $ZZ$) ?
La simmetria la dimostro così:
Per ipotesi inziale, ovvero la traccia dell'esercizio, so che $5x^2-y^2=2*h$
devo dimostrare $5y^2-x^2$, che posso anche scrivere come $6y^2-y^2-6x^2+5x^2$
Sosituisco qui $5x^2-y^2$ con $2h$ ed ottengo:
$6y^2-6x^2+2h$
Ed anche qui dico che 6, che è un numero pari, moltiplicato per un numero pari o dispari che sia, in $ZZ$, non da comunque un numero pari? e $2h$ invece è la forma canonica per indicare un numero pari, no? Quindi è simmetrica.
Arrivato alla transitività mi trovo di piu a dire che 2 divide la nostra formula, quindi è pari, piuttosto che la nostra formula è uguale a $2*h$:
$AA x,y,z in ZZ$ $xRy$ ^ $yRz$ implicano $xRz$
ovvero $2|5x^2-y^2$ ^ $2|5y^2-z^2$ implica $2|5x^2-z^2$
segue che $2|5x^2-y^2 + 5x^2-z^2$ ma $2|4*y^2$ sicuramente perchè è un numero pari moltiplicato per un'altro numero in $ZZ$ quindi lo possiamo eludere nella nostra formula (ovvero darlo per scontato, no?) ed otteniamo proprio che $2|5x^2-z^2$
E' giusto? è un problema se la transitività l'ho dimostrata in quest'altro modo? come potrei farla per dimostrarla sfruttando la notazione $=2h$ ?
Allora innanzitutto vediamo se questa volta ho dimostrato bene che $R$ è di equivalenza, poi se dico bene allora passiamo a trovare l'insieme quoziente.
Piccola premessa: All'inizio volevo dimostrare che un numero è pari se è uguale a $2*h$, poi mi sono trovato meglio nel dire che un numero è pari se è divisibile per 2, visto che $R$ è una relazione in $ZZxZZ$ Dovrebbe essere la stessa cosa no?
Ma non ho capito esattamente che cosa intendi; in ogni modo, un numero si dice pari sse è divisibile per $2$. Detto in altro modo, $x " pari " iff exists k in ZZ " tale che " x=2k$. Nota che $k$ sta in $ZZ$, questo ti permette di dire che anche $-8$ è pari.
Per la riflessività ho fatto come hai detto tu ovvero:
$xRx$ altro non è che $5x^2-x^2=4*x^2$, qui, questo $4*x^2$ posso affermare a rigore che è pari? è simile alla formula $2*h$ che identifica tutti i numeri positivi (almeno in $ZZ$) ?
Certo che puoi, se hai un multiplo di $4$, sicuramente esso è divisibile per $2$.
La simmetria la dimostro così:
Per ipotesi inziale, ovvero la traccia dell'esercizio, so che $5x^2-y^2=2*h$
devo dimostrare $5y^2-x^2$, che posso anche scrivere come $6y^2-y^2-6x^2+5x^2$
Sosituisco qui $5x^2-y^2$ con $2h$ ed ottengo:
$6y^2-6x^2+2h$
Ed anche qui dico che 6, che è un numero pari, moltiplicato per un numero pari o dispari che sia, in $ZZ$, non da comunque un numero pari? e $2h$ invece è la forma canonica per indicare un numero pari, no? Quindi è simmetrica.
Se vuoi fare il fine
, raccogli il $2$ nei tre termini e lo metti in evidenza. Quindi il tuo numero risulta della forma $2 * "qualcosa"$, cioè è pari.
Arrivato alla transitività mi trovo di piu a dire che 2 divide la nostra formula, quindi è pari, piuttosto che la nostra formula è uguale a $2*h$:
$AA x,y,z in ZZ$ $xRy$ ^ $yRz$ implicano $xRz$
ovvero $2|5x^2-y^2$ ^ $2|5y^2-z^2$ implica $2|5x^2-z^2$
segue che $2|5x^2-y^2 + 5y^2-z^2$ ma $2|4*y^2$ sicuramente perchè è un numero pari moltiplicato per un'altro numero in $ZZ$ quindi lo possiamo eludere nella nostra formula (ovvero darlo per scontato, no?) ed otteniamo proprio che $2|5x^2-z^2$
Sì, dovrebbe essere giusta. Complimenti, il miglioramento è già notevole. Visto che scrivendo tutto con calma riesci bene?
Bravo.
Concordo con te, l'algebra è tutt'altro che immediata, ci vuole ragionamento, studio. Posta pure gli esercizi senza farti problemi, sul web penso tu possa trovare tante dispense e raccolte di esercizi (anche se so per esperienza che ben poche hanno le soluzioni).
Quanto a riti woodoo, per ora non mi viene in mente nulla, ma ne riparliamo a Gennaio quando dovrò dare Algebra I
Take care.
Grazie mille per l'aiuto, io scrivo sempre questo genere di esercizi sul web perchè alle volte riesci a scrivere cavolate enormi (come in questo caso) credendo che siano giuste. L'unico modo è confrontarsi con qualcuno.
Peccato che i miei colleghi di corso al 99% non si esercitano con gli esercizi, e questo significa che "credono di sapere" perchè hanno capito la formuletta generale, ma solo facendo pratica in realtà si impara a risolvere quelli che oserei chiamare "intoppi procedurali"
L'1% rimanente è troppo spocchioso per mettersi a confrontare con me gli esercizi. E' vero, faccio un sacco di errori, ma qualcuno diceva che sbagliando si impara
Ora però ci rimangono le classi di equivalenza, ma qui oserei "continuare a dire" che esiste una sola classe di equivalenza in tutta $ZZ$ che rispecchia questa relazione, ovvero tutti i numeri in $ZZ$ sono in relazione di equivalenza fra loro. no?
Qui per dimostrarlo "matematicamente" ci vorrebbe una dimostrazione per assurdo che dice "che se prendo due numeri qualsiasi in Z, diversi tra loro, la relazione non è soddisfatta", incorrere nell'eccezione e dire che quindi la regola è confermata. O Sto dicendo cavolate?
P.S: a me l'esmae è di matematica discreta, è benchè fino alle superiori non mi ha mai interessato la matematica perchè ci stava più un approccio mnemonico che logico (della serie ricordati la formuletta, applica la formuletta). Ora che invece c'è da mettersi in gioco con la logica e riflettere, che le regole sono poco ma le devi diciamo "saper incastrare" mi sto appassionando di più. Anche se comunque la mia poca memoria gioca sicuramente a mio svantaggio
Peccato che i miei colleghi di corso al 99% non si esercitano con gli esercizi, e questo significa che "credono di sapere" perchè hanno capito la formuletta generale, ma solo facendo pratica in realtà si impara a risolvere quelli che oserei chiamare "intoppi procedurali"
L'1% rimanente è troppo spocchioso per mettersi a confrontare con me gli esercizi. E' vero, faccio un sacco di errori, ma qualcuno diceva che sbagliando si impara
Ora però ci rimangono le classi di equivalenza, ma qui oserei "continuare a dire" che esiste una sola classe di equivalenza in tutta $ZZ$ che rispecchia questa relazione, ovvero tutti i numeri in $ZZ$ sono in relazione di equivalenza fra loro. no?
Qui per dimostrarlo "matematicamente" ci vorrebbe una dimostrazione per assurdo che dice "che se prendo due numeri qualsiasi in Z, diversi tra loro, la relazione non è soddisfatta", incorrere nell'eccezione e dire che quindi la regola è confermata. O Sto dicendo cavolate?
P.S: a me l'esmae è di matematica discreta, è benchè fino alle superiori non mi ha mai interessato la matematica perchè ci stava più un approccio mnemonico che logico (della serie ricordati la formuletta, applica la formuletta). Ora che invece c'è da mettersi in gioco con la logica e riflettere, che le regole sono poco ma le devi diciamo "saper incastrare" mi sto appassionando di più. Anche se comunque la mia poca memoria gioca sicuramente a mio svantaggio
Un attimo no, pensandoci bene non è così, se metto 0 mi ritrovo un numero dispari. Ma perchè c'ho fisso in mente che un numero alla seconda deve essere a forza pari? è un numero pari alla seconda rimane pari, non tutti i numeri. Mi confondo sempre.
Ecco, ci sono, questa dovrebbe essere la risposta giusta (come al solito se non mi metto con calma, e provo ad andare a tentoni, scrivo inesattezze).
Prendiamo $x = 0$
$[0]_r = {y in ZZ | 5x^2-y^2$ è pari$}$ = ${y in ZZ| y$ pari$}$ ovvero $0$ è in relazione con tutti i numeri pari, e ne definisce tale classi di equivalenza. L'ho scritto bene?
invece se prendo il suo successivo, 1, ho:
$[1]_r = {y in ZZ | 5x^2-y^2$ è pari$}$ = ${y in ZZ| y$ dispari$}$ ovvero $1$ è in relazione con tutti i numeri dispari
Se prendessimo 2 avremmo:
$[2]_r = {y in ZZ | 5x^2-y^2$ è pari$}$ = ${y in ZZ| y$ pari$}$ ovvero $[2]_r = [0]_r$ no?
Quindi possiamo dire che l'insieme quoziente è uguale alle due classi identificate da $[0]_r$ ed $[1]_r$ ovvero rispettivamente l'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri dispari.
Però forse anche qui mi sfugge, perchè io ho ragionato con "0 con cosa è in relazione" ed ho pensato "con i pari"; "1 con cos'è in relazione?" e la risposta che mi sono dato è "con i dispari". Poi ho detto se già l'unione della classe di equivalenza di $0$ e di $1$ mi da tutto l'insieme $ZZ$, ed essendo che un numero può essere in un solo insieme di equivalenza, se ne deduce che quelle e due sono le uniche classi di equivalenza esistenti che rispecchiano quella relazione in $ZZ$. Ma forse ho fatto un ragionamento un pò troppo contorto, o no?
Prendiamo $x = 0$
$[0]_r = {y in ZZ | 5x^2-y^2$ è pari$}$ = ${y in ZZ| y$ pari$}$ ovvero $0$ è in relazione con tutti i numeri pari, e ne definisce tale classi di equivalenza. L'ho scritto bene?
invece se prendo il suo successivo, 1, ho:
$[1]_r = {y in ZZ | 5x^2-y^2$ è pari$}$ = ${y in ZZ| y$ dispari$}$ ovvero $1$ è in relazione con tutti i numeri dispari
Se prendessimo 2 avremmo:
$[2]_r = {y in ZZ | 5x^2-y^2$ è pari$}$ = ${y in ZZ| y$ pari$}$ ovvero $[2]_r = [0]_r$ no?
Quindi possiamo dire che l'insieme quoziente è uguale alle due classi identificate da $[0]_r$ ed $[1]_r$ ovvero rispettivamente l'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri dispari.
Però forse anche qui mi sfugge, perchè io ho ragionato con "0 con cosa è in relazione" ed ho pensato "con i pari"; "1 con cos'è in relazione?" e la risposta che mi sono dato è "con i dispari". Poi ho detto se già l'unione della classe di equivalenza di $0$ e di $1$ mi da tutto l'insieme $ZZ$, ed essendo che un numero può essere in un solo insieme di equivalenza, se ne deduce che quelle e due sono le uniche classi di equivalenza esistenti che rispecchiano quella relazione in $ZZ$. Ma forse ho fatto un ragionamento un pò troppo contorto, o no?
Un modo semplice di procedere è il seguente, chiedere quali sono le classi di equivalenza è come richiedere le soluzioni del problema:
$5x^2-y^2\equiv0(mod2)$
da cui con semplici passaggi giungi a:
$x^2\equivy^2(mod2)$
che ha come soluzioni:
$x\equivy(mod2)$
ovvero le coppie $(0,0) \in ZZ_2^2$ e $(1,1) 1in ZZ_2^2$ ovvero due sole classi di equivalenza.
$5x^2-y^2\equiv0(mod2)$
da cui con semplici passaggi giungi a:
$x^2\equivy^2(mod2)$
che ha come soluzioni:
$x\equivy(mod2)$
ovvero le coppie $(0,0) \in ZZ_2^2$ e $(1,1) 1in ZZ_2^2$ ovvero due sole classi di equivalenza.
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