Classi di equivalenza aiuto!

[Terryy61]

Ciao a tutti, non riesco a capire come si trovano le classi di equivalenza! Ho iniziato a fare un esercizio (di cui nn so nemmeno se la parte ke ho fatto sta bene) ma nn so continuare! Chi mi aiuta?

Sia R la relazione su Q tale che ∀a,b∈Q,aRb <=> esiste k∈Z tale che b=2(^k)a
1. Si provi che R è una relazione di equivalenza
2. Si calcolino le classi di equivalenza 〖[0]〗_R, 〖[1]〗_R.
3. Si stabilisca se R è compatibile con la moltiplicazione.

Risoluzione:
1. Una relazione si dice relazione di equivalenza quando è riflessiva, simmetrica e transitiva:
-riflessiva: a=2(^k)a se k=0 a=2(^0)a => a=a E' RIFLESSIVA
-simmetrica: a=2(^k)b ∀k∈Z aRb => bRa E' SIMMETRICA
-transitiva: se a=2(^k)b e b=2(^k)c => a=2(^k)c E' TRANSITIVA
(Non sono sicura di aver svolto in modo corretto e soddisfacente questa parte)

2. Qui mi blocco e ho bisogno del vostro aiuto :\ So solo che una classe di equivalenza è un sottoinsieme di Q (in qst caso), i cui elementi presi due a due soddisfano la relazione.

3. O.o?? vuoto totale! Ho visto solo esempi con 4 elementi∈ad un insieme in cui si faceva vedere quando una relazione di equivalenza è compatibile con l'addizione e la moltiplicazione, Ma in questo caso abbiamo due elementi ovvero a e b e non so come si fa :\

[Gi81]

Sia $ccR$ la relazione su $QQ$ tale che $AA a,b in QQ$ $qquad$ $a ccR b quad <=> quad EE kin ZZ$ tale che $b=2^k * a$.

[1] Si provi che $ccR$ è una relazione di equivalenza;
[2] Si calcolino le classi di equivalenza $[0]_{ccR}$ e $[1]_{ccR}$;
[3] Si stabilisca se $ccR$ è compatibile con la moltiplicazione.[/list:u:3adusi3r]

Partiamo dal punto [1]:

La relazione è riflessiva (come hai scritto anche tu)
perchè per ogni $a in QQ$ si ha $a= 2^0 * a$ (quindi si prende $k=0 in ZZ$)

La relazione è simmetrica: $AA a,b in QQ$ proviamo che se $a ccR b$ allora $b ccRa$:
$a ccR b => a= 2^k *b$ (con $k in ZZ$ ) $=> b= a/(2^k)= 2^(-k) *a$ (e ovviamente $-k in ZZ$)$=> b ccRa$.

Prova a fare la transitiva

Punto [2]

Con quali $a in QQ$ è in relazione $0$?
$a ccR0 <=> EE k in ZZ$ tale che $a=2^k *0$. Ma $2^k *0=0$ per ogni scelta di $k$ in $ZZ$.
Quindi $0$ è in relazione solo con sè stesso. Perciò $[0]_{ccR}={0}$.

Prova a trovare $[1]_{ccR}$

Punto [3]

Cosa significa "si stabilisca se $ccR$ è compatibile con la moltiplicazione?"
Significa verificare se $AA x in [a]_{ccR}, AA y in _{ccR}$ si ha $x*y in [ab]_{ccR}$

[Esir1]

Non ho comunque capito come verificare il terzo punto, perdonatemi....

[Gi81]

Esir, ma sei Terryy6?

[Esir1]

No, ma mi ero interessato allo svolgimento dell'esercizio, perché ho trovato altrove la stessa richiesta.. Dunque, se avessi la possibilità di vedere un modello di dimostrazione mi sarebbe molto utile!

[Gi81]

Niente, se $x =2^k a$ e $y=2^h b$ allora $xy= 2^(k+h) ab$. Fine

[Esir1]

Ti ringrazio! Mi perdo sempre in un bicchier d'acqua!