Classi di coniugio
Sto studiando l'azione di un insieme su un gruppo $(G,\cdot)$.
Se come azione considero l'azione di coniugio, cioè la funzione $\mu: G\times G\rightarrow G$, $x\mapsto gxg^\{-1\}$, si ha che le G-orbite sono le classi di equivalenza della relazione $\forall x,y \in G x\sim y \Leftrightarrow \exists g\in G, y=gxg^\{-1\}$, dette classi di coniugio.
Detta $[x]$ la classe di coniugio di x, si ha che $[x]=\{x\}\Leftrightarrow \{g\in G|gxg^\{-1\}=x\}=\{g\in G|gx=xg\}=G$. Non mi risulta chiaro il motivo di quest'ultima doppia implicazione.
Se come azione considero l'azione di coniugio, cioè la funzione $\mu: G\times G\rightarrow G$, $x\mapsto gxg^\{-1\}$, si ha che le G-orbite sono le classi di equivalenza della relazione $\forall x,y \in G x\sim y \Leftrightarrow \exists g\in G, y=gxg^\{-1\}$, dette classi di coniugio.
Detta $[x]$ la classe di coniugio di x, si ha che $[x]=\{x\}\Leftrightarrow \{g\in G|gxg^\{-1\}=x\}=\{g\in G|gx=xg\}=G$. Non mi risulta chiaro il motivo di quest'ultima doppia implicazione.
Risposte
"aram":
Detta $[x]$ la classe di coniugio di x, si ha che $[x]=\{x\}\Leftrightarrow \{g\in G|gxg^\{-1\}=x\}=\{g\in G|gx=xg\}=G$
Significa che se $[x]={x}$ allora da $g^{-1}xg \in [x]$ segue $g^{-1}xg =x \rightarrow xg=gx $ ovvero ogni elmento $g \in G$ permuta con $x$ cioè $x \in Z(G)$. Viceversa se $x$ è centrale $g^{-1}xg=g^{-1}gx=1x=x$ per ogni $g \in G$ e quindi l'unico coniugato di $x$ è se stesso.
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