Classi di coniugio

[Reginald1]

Salve a tutti, volevo proporre questo esercizio: dato G gruppo finito e $H < G$, bisogna far vedere che
$c(G) \le c(H)[G] $ dove con c(G) intendo il numero di classi di coniugio di G.. boh osservazioni che ho fatto io sono banalità, per ogni h in H $c_H(h)$ è contenuta in $c_G(h)$ dove $c_G(t)$ è la classe di coniugio di t in G.. ho provato anche con la formula di burnside senza successo, anche tenendo presente le relazioni tra $ c_G(g)$ e l'ordine del commutatore di g in G..boh

[perplesso1]

Ciao, non ti so dare una soluzione ma il problema mi incuriosisce molto. Io ho pensato solo che la relazione di coniugio $ C_G $ in G induce una partizione su ognuna delle classi laterali di H ( chiamiamole $ x_1H,x_2H,...,x_tH $ )

Per esempio $ {x_iH}/{C_G} = {[x_ih]_{C_G} \cap x_iH : h \in H} $ è una partizione del laterale $ x_iH $

Ora se riuscissi a dimostrare che $ |{x_iH}/{C_G}| <= |H/{C_H}| = c(H) $ per ogni $ x_i $ (cosa che mi sembra ovviamente vera se $ x_i = 1 $ ) e tenendo presente che il numero dei laterali di H in G è $ |G:H| $ Allora potrei impostare questa disuguaglianza

$ c(G) <= \sum |{x_iH}/{C_G}| <= |G:H| * |H/{C_H}| = |G:H|c(H) $

Forse c'è una strada ancora piu facile ma non l'ho ancora trovata boh.

[Martino]

Suggerisco di applicare il lemma di conteggio delle orbite all'azione di coniugio di [tex]G[/tex] su se stesso. L'enunciato è il seguente:

Lemma di conteggio delle orbite (Orbit-Counting Lemma). Il gruppo finito [tex]G[/tex] agisca sull'insieme [tex]\Omega[/tex], e dato [tex]g \in G[/tex] indichiamo con [tex]\text{fix}(g)[/tex] il numero di elementi di [tex]\Omega[/tex] fissati da [tex]g[/tex]. Allora il numero delle orbite di questa azione è uguale a [tex]\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \text{fix}(g)[/tex].

Dimostrazione in spoiler:

Consideriamo il grafo i cui vertici sono gli elementi dell'unione disgiunta [tex]G \cup \Omega[/tex] e c'è un arco tra [tex]g \in G[/tex] e [tex]\alpha \in \Omega[/tex] se e solo se [tex]g[/tex] fissa [tex]\alpha[/tex]. E' chiaro che il numero di archi di questo grafo è [tex]\sum_{g \in G} \text{fix}(g)[/tex]. Ora sia [tex]\Delta[/tex] un'orbita. Per il principio del conteggio il numero di archi contenenti [tex]\alpha \in \Delta[/tex] è [tex]|\text{Stab}_G(\alpha)|=|G|/|\Delta|[/tex], quindi il numero totale di archi contenenti punti di [tex]\Delta[/tex] è [tex]|\Delta| \cdot \frac{|G|}{|\Delta|} = |G|[/tex]. Detto [tex]m[/tex] il numero di orbite, il numero totale di archi è quindi [tex]m |G|[/tex], e il risultato è dimostrato. []

Tratta dal libro "Permutation groups" di Peter J. Cameron (London Mathematical Society), teorema 2.2 pagina 37.

[Reginald1]

Il lemma in questione è esattamente quello che dicevo prima, la formula di burnside.. però non è chiaro come va usata.. Per quanto riguarda quanto detto da perplesso avevo provato a impostare il problema anche così però il coniugio con il fatto di moltiplicare per $x_i$ non si comporta troppo bene, boh..

[Martino]

Prova ad applicare il lemma all'azione di coniugio di [tex]H[/tex] su [tex]G[/tex] (osservando che il numero di orbite di questa azione maggiora il numero di classi di coniugio di [tex]G[/tex]).

[Reginald1]

Allora, dalla formula di Burnside si ha che il numero di classi di coniugio in G è $\frac{1}{|G|} sum_{g \in G} |Co_G (g)|$ dove $Co_G (g)$ è il centralizzatore di g in G. Questo perchè per ogni g in G ${k \in G: gkg^{-1}=k}={k \in G : gk=kg}=Co_G (g)$, il numero di orbite dell'azione di H su G per coniugio è invece $\frac{1}{|H|} sum_{h \in H} |Co_G (h)|$, poichè un orbita dell'azione di H su G è contenuta in un orbita dell' azione di G su G per coniugio visto che G contiene H, si ha che $\frac{1}{|G|} sum_{g \in G} |Co_G (g)| \le \frac{1}{|H|} sum_{h \in H} |Co_G (h)|$. Ora, quello che devo dimostrare è che $\frac{1}{|G|} sum_{g \in G} |Co_G (g)| \le \frac{1}{|H|} sum_{h \in H} |Co_H (h)|[G]$. spero di poter far vedere a questo punto che $|Co_G (h)| \le |Co_H (h)|[G]$, basterebbe far vedere che $[Co_G (h):Co_H (h)] \le [G]$, che però non è molto chiaro come attaccare poichè non ho nessuna relazione di inclusione tra H e $Co_G (h)$, l'idea del partizionare G in laterali e poi vedere $|Co_G (h) \cap aH|$ anche questa non è chiaro come farla funzionare perchè facendo i conti non commuta più nulla di quello che si sperava commutasse..

[Martino]

"Reginald":spero di poter far vedere a questo punto che $|Co_G (h)| \le |Co_H (h)|[G]$

Per questo, ricorda che la classe di coniugio di [tex]h[/tex] in [tex]G[/tex] ha (banalmente) più elementi della sua classe in [tex]H[/tex] (la contiene). E usa quella cosa che si chiama principio del conteggio, o teorema orbita-stabilizzatore, o equazione delle classi, insomma il fatto che la cardinalità dell'orbita di un elemento è uguale all'indice del suo stabilizzatore.

[Reginald1]

Boh, continuo a non capire come mai sia vera quella disuguaglianza..

[Martino]

Dai, un piccolo sforzo!

Riformulo in termini di formule. Chiama [tex]h^G[/tex] la classe di coniugio di [tex]h[/tex] in [tex]G[/tex]. Allora ovviamente [tex]|h^G| \geq |h^H|[/tex]. Ora ricorda che [tex]|h^G| = |G:C_G(h)|[/tex] (dove [tex]C_G(h)[/tex] indica il centralizzante di [tex]h[/tex] in [tex]G[/tex]). Cosa ottieni se sostituisci?

[Reginald1]

ah che imbecille ho capito =) scusa se ho insistito tanto..$|h^H|\le |h^G|$ allora $\frac{|G|}{|C_G (h)|} \ge \frac {|H|}{|C_H(h)|}$..fantastico grazie per la pazienza!