Classi di coniugio

[Aletzunny1]

Buonasera, ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio svolto in classe di cui non ho capito la soluzione del mio professore!
Spero di riuscire a capirla qui.


Dati $s=Sym_n$ e $A=A_n$ con $n=5$ calcolare
$|x^s|$ , $|C_s(x)|$ ,$|x^A|$, $|C_A(x)|$

Dove $C$ indica il centralizzante e $x$ con $n=5$ può essere:

$I_n$
$(12)$
$(123)$
$(1234)$
$(12345)$
$(12)(34)(5)$
$(123)(45)$

Il mio dubbio nasce per il caso $x=(123)$

Infatti si trova che:
$|x^s|=20$ e $|C_s(x)|=6$

Ed ora è necessario discutere per trovare il valore di $|x^A|$ e $|C_A(x)|$ e qui non ho più capito come si fa. Infatti a lezione si è risolto così:

" $C_s(sigma) sube A?$ "

$[$ ma non ho capito cosa sia questo $sigma$ (lo intendeva come $x$ $?$)e perché è importante vedere se $C_s(sigma) sube A$ $]$

"Si vede che lo scambio $(45) in {C_s(sigma) - A}$ poiché $(45)$ è disgiunto rispetto a $(123)$. Dunque $C_s(sigma) sup C_A(sigma)$ e $|x^A|=20$ e $|C_A(x)|=3$".

Ecco cosa non ho capito: perché possiamo dire che $(45) in {C_s(sigma) - A}$ $?$ E perché da questo si deduce che $C_s(sigma) sup C_A(sigma)$ e quindi $|x^A|=20$ e $|C_A(x)|=3$ e non potrebbe essere $x^A=x'^A=10$ e $|C_A(x)|=|C_s(x)|=6$ $?$

Grazie

[Studente Anonimo]

Ciao!

Nel seguito ho sostituito $s$ con $S$ per indicare il gruppo simmetrico.

"Aletzunny":$[$ ma non ho capito cosa sia questo $sigma$ (lo intendeva come $x$ $?$)e perché è importante vedere se $C_S(sigma) sube A$ $]$

Sì certo $sigma = x = (123)$.

perché possiamo dire che $(45) in {C_S(sigma) - A}$ $?$

La tua notazione è strana, immagino tu intenda dire $(45) in C_S(sigma) - A$. Lo possiamo dire perché $(45) in C_S(sigma)$ (che è la stessa cosa di dire che "$(45)$ commuta con $sigma$"), essendo $(45) sigma = sigma (45)$, infatti $(45)(123)=(123)(45)$, più in generale cicli disgiunti commutano sempre (dubbi?)

E perché da questo si deduce che $C_s(sigma) sup C_A(sigma)$

Beh il fatto che questi due centralizzanti siano tra loro diversi segue dal fatto che esiste un elemento, $(45)$, che sta in $C_S(sigma)$ ma non sta in $C_A(sigma)$. Dubbi?

Ora il fatto che $C_S(sigma)$ contenga $C_A(sigma)$ è proprio per definizione di centralizzante. Gli elementi di $A$ che commutano con $sigma$ sono in particolare elementi di $S$ che commutano con $sigma$. Dubbi?

e quindi $|x^A|=20$ e $|C_A(x)|=3$ e non potrebbe essere $x^A=x'^A=10$ e $|C_A(x)|=|C_s(x)|=6$ $?$

Beh abbiamo detto che $|C_S(x)|=6$, $C_A(x)$ è un sottogruppo di $C_S(x)$ diverso da $C_S(x)$, e ovviamente $x in C_A(x)$ ($x in A$ e $x$ commuta con $x$). Ma $x$ ha ordine $3$ quindi $|C_A(x)| ge 3$. Riesci a dedurre che $|C_A(x)|=3$?

Ora che sappiamo che $|C_A(x)|=3$ riesci a dedurre che $|x^A|=20$?

[Aletzunny1]

Ho compreso molto bene la parte iniziale della spiegazione mentre non capisco molto l'ultima parte.. perché $|C_A(x)>=3$ $?$

[Studente Anonimo]

Perché $C_A(x)$ contiene $x$, e $x$ è un elemento di ordine $3$, cioè gli elementi $x$, $x^2$, $x^3=1$ sono tre elementi distinti di $C_A(x)$.

[Aletzunny1]

Forse ho capito perché non capisco! Il mio prof usa spesso ordine come sinonimo di cardinalità!

La scrittura $|C_A(x)|$ cosa indica? E invece come deduco che $x$ ha ordine $3$? E cosa intende per ordine?

[Aletzunny1]

E non dovrebbe quindi essere $|C_A(x)|<=3$ $?$

[Studente Anonimo]

"Aletzunny":Forse ho capito perché non capisco! Il mio prof usa spesso ordine come sinonimo di cardinalità!

Sì, per ordine di un gruppo si intende la sua cardinalità. Invece per ordine di un elemento si intende il più piccolo esponente positivo la cui corrispondente potenza è uguale all'elemento neutro (ti consiglio di rivederti questi concetti).

La scrittura $|C_A(x)|$ cosa indica?

Se $X$ è un qualsiasi insieme $|X|$ indica la sua cardinalità.

E invece come deduco che $x$ ha ordine $3$?

Il 3-ciclo $(123)$ ha ordine $3$. Se questo non è chiaro ti consiglio di riguardarti le definizioni di base.

E cosa intende per ordine?

Ho risposto sopra, ma lo ripeto. L'ordine di un elemento $x$ di un gruppo moltiplicativo $G$ (con elemento neutro indicato con $1$) è il più piccolo intero positivo $n$ tale che $x^n=1$.

[Aletzunny1]

Grazie mille! Sei stato davvero gentile