Classi di coniugio

[liberatorimatteo]

Buonasera,
Non riesco a dimostrare il seguente fatto:

Sia $G$ un gruppo finito. Se $G$ ha solo due classi di coniugio, allora $G\cong \mathbb(Z)_2$.

Ho provato in vari modi ma non riesco...
Ad esempio considerando l'azione $G\timesG->G:(g,h)\mapstoghg^1$ ho che le orbite sono le classi di coniugio di $G$ quindi

$2=1/(#G)\sum_{g\inG}#\text(fix)(g)$, ove $\text(fix)(g)={h\inG:ghg^-1=h}$
$2=1/(#G)\sum_{g\inG}#\text(fix)(g)\Leftrightarrow #G=\sum_{g\inG-{e}}#\text(fix)(g)$

ma non riesco a concludere nulla...
Similmente visto che la cardinalità di ogni orbita deve dividere la cardinalità di $G$ ho che se $#G=n$ allora $n/(n-1)\inmathbb(Z)_(>0)$ che è vero se $n=2$ ma devo far vedere che è vero solo in quel caso...
Se considero la funzione reale $f(x)=x/(x-1)$ graficamente è evidente e forse dovrei ragionare su gli intervalli di monotonia e gli asintoti ma non mi pare il caso... penso sia molto più semplice ma non riesco a vedere la soluzione

[Shocker1]

Osservazione: $G$ è finito, diciamo $|G| = n$, poiché $G$ ha solo due classi di coniugio allora, detta $C$ quella non banale(cioè che non contiene l'identità), si ha $|C| = n-1$.
EDIT: ho risposto di fretta, sei già arrivato a questo punto.
Osserva che $n-1$ e $n$ hanno parità diverse: uno è pari e l'altro è dispari, è chiaro che se $n-1$ fosse pari allora non c'è speranza divisione con resto $0$, quindi come minimo $n-1$ è dispari, ora, se fosse $n > 2$ avresti che $n < 2(n-1)k$, quindi deve essere per forza $n = 2$

[liberatorimatteo]

"Shocker": se fosse $n > 2$ avresti che $n < 2(n-1)k$

Non ho capito questa implicazione

[Studente Anonimo]

Freebulls, se $n-1$ divide $n$ allora $n=2$, pensaci, è immediato. Dovresti poter scrivere $n=a(n-1)$ con $a$ intero ma non appena $a ge 2$ hai $a(n-1) ge 2(n-1)$ che è ovviamente maggiore di $n$ (se $n ge 3$). Quindi non può essere uguale a $n$.

Quanto al problema delle tre classi, è più complicato, vedi qui. Ma finché non ti è chiaro il problema delle 2 classi non credo che tu possa affrontare il problema delle tre classi.

[liberatorimatteo]

Grazie mi è chiaro... Il problema delle 3 classi di coniugio sono riuscito a risolverlo con un po' di aiuto...
Il caso Delle due classi di coniugio era immediato ma non riuscivo a scriverlo formalmente però come hai scritto tu è chiaro, grazie!

[Studente Anonimo]

Prego ciao