Classe di una permutazione
Ciao ragazzi, so che per molti potrebbe sembrare una sciocchezza, ma io e molti amici non riusciamo a capire bene come si determina la classe di una permutazione, e questo è dovuto al fatto che si trovano un sacco di differenti definizioni (come l'uso di scambio o trasposizione, il calcolo tramite scambi o altre cose).
Allora, se io ho questa permutazione: (1 3 8)°(5 9) come devo assegnare 1 o -1?
1.Secondo alcuni basta fare lunghezza dispari=-1, lunghezza pari=1
Quindi sarebbe 3 per il primo ciclo disgiunto e 2 per il secondo, dunque -1*1 risultato classe dispari
2.Secondo altri, non capisco bene quale sia la definizione, piuttosto che fare -1*1 fanno 1*-1, risultando comunque dispari
3.Altri dicono che si considerano gli scambi, quindi quella diventa: (1 8)°(1 3)°(5 9), se gli scambi sono pari è di classe pari. Quindi secondo questo ragionamento verrebbe di classe dispari perchè i cicli sono 3.
4. Ancora altre fonti nel web parlano di maggiore o minore: se il numero più grande tra i due è a sinistra, allora si assegna -1. Quindi in (1 3 8)°(5 9) verrebbe -1*-1*-1 e dunque di classe dispari.
Ora io non capisco veramente quale metodo applicare. So che la permutazione è comunque di classe dispari, ma come si assegna 1 o -1 ai vari cicli disgiunti?
Allora, se io ho questa permutazione: (1 3 8)°(5 9) come devo assegnare 1 o -1?
1.Secondo alcuni basta fare lunghezza dispari=-1, lunghezza pari=1
Quindi sarebbe 3 per il primo ciclo disgiunto e 2 per il secondo, dunque -1*1 risultato classe dispari
2.Secondo altri, non capisco bene quale sia la definizione, piuttosto che fare -1*1 fanno 1*-1, risultando comunque dispari
3.Altri dicono che si considerano gli scambi, quindi quella diventa: (1 8)°(1 3)°(5 9), se gli scambi sono pari è di classe pari. Quindi secondo questo ragionamento verrebbe di classe dispari perchè i cicli sono 3.
4. Ancora altre fonti nel web parlano di maggiore o minore: se il numero più grande tra i due è a sinistra, allora si assegna -1. Quindi in (1 3 8)°(5 9) verrebbe -1*-1*-1 e dunque di classe dispari.
Ora io non capisco veramente quale metodo applicare. So che la permutazione è comunque di classe dispari, ma come si assegna 1 o -1 ai vari cicli disgiunti?
Risposte
Ricorda che:
- cicli di lunghezza pari hanno segno -1,
- cicli di lunghezza dispari hanno segno 1,
- il segno di un prodotto di permutazioni è il prodotto dei loro segni.
- cicli di lunghezza pari hanno segno -1,
- cicli di lunghezza dispari hanno segno 1,
- il segno di un prodotto di permutazioni è il prodotto dei loro segni.
Quindi ricapitolando:
lunghezza pari = convenzione -1
lunghezza dispari = convenzione 1
Permutazione classe pari: prodotto finale = 1
Permutazione classe dispari: prodotto finale = -1
Per come la vedo io è una convenzione assurda. Dato che la permutazione è pari se risulta 1, perchè non dare 1 anche alla lunghezza pari? Si crea tanta confusione come stanno le cose.
lunghezza pari = convenzione -1
lunghezza dispari = convenzione 1
Permutazione classe pari: prodotto finale = 1
Permutazione classe dispari: prodotto finale = -1
Per come la vedo io è una convenzione assurda. Dato che la permutazione è pari se risulta 1, perchè non dare 1 anche alla lunghezza pari? Si crea tanta confusione come stanno le cose.
"Shepard":Non è una convenzione: se fosse il contrario (cioè, se i cicli di lunghezza dispari avessero segno -1 e i cicli di lunghezza pari avessero segno 1) allora salterebbe la moltiplicatività del segno, pensa per esempio all'uguaglianza [tex](12)(13)=(123)[/tex].
Strana convenzione però.
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