Classe di equivalenza
Consideriamo l'insieme delle rette in un piano. Se introduciamo in questo insieme una relazione di parallelismo, otteniamo tanti gruppi di rette parallele tra loro. Ognuno di questi gruppi si chiama classe di equivalenza. L'insieme di tutte le classi di equivalenza prende il nome di insieme quoziente.
Volevo sapere: che significa che un elemento qualunque di una certa classe di equivalenza può essere preso come rappresentante della classe di equivalenza? Se io assegno un nome ad una certa classe di equivalenza, ogni elemento della classe di equivalenza avrà quel nome?
Ad esempio, in matematica si definisce 3 la classe di equivalenza degli insiemi equipotenti all'insieme dei vertici di un triangolo. Visto che i libri dicono che un qualunque elemento della classe di equivalenza può rappresentare quest'ultima, allora anche ognuno degli elementi della classe di equivalenza degli insiemi equipotenti all'insieme dei vertici di un triangolo può chiamarsi 3?
Spero che il mio dubbio sia chiaro!
Volevo sapere: che significa che un elemento qualunque di una certa classe di equivalenza può essere preso come rappresentante della classe di equivalenza? Se io assegno un nome ad una certa classe di equivalenza, ogni elemento della classe di equivalenza avrà quel nome?
Ad esempio, in matematica si definisce 3 la classe di equivalenza degli insiemi equipotenti all'insieme dei vertici di un triangolo. Visto che i libri dicono che un qualunque elemento della classe di equivalenza può rappresentare quest'ultima, allora anche ognuno degli elementi della classe di equivalenza degli insiemi equipotenti all'insieme dei vertici di un triangolo può chiamarsi 3?
Spero che il mio dubbio sia chiaro!
Risposte
Un rappresentante di una classe di equivalenza non è un nome per quella classe ma semplicemente un elemento di quell'insieme (le classi di equivalenza sono insiemi e l'insieme quoziente è un insieme di insiemi). L'utilità dei rappresentanti è che certe funzioni sono indipendenti dall'elemento della classe che si sceglie e quindi se ne prende uno a caso e si calcola il valore per quello. Non confondere rappresentante con classe di equivalenza. Bisogna comunque dire che spesso si confonde l'insieme quoziente con l'immagine di un funzione suriettiva costruita opportunamente in modo da avere le classi di equivalenza e gli elementi dell'immagine in corrispondenza biunivoca.
Non ho capito molto del tuo esempio. Ma sono propenso a dire che è parzialmente così. Insomma alcuni oggetti, in alcune teorie matematiche, sono indistinguibili in quella particolare teoria. All'interno di quella particolare teoria puoi quindi lavorare indifferentemente con uno o l'altro senza preoccuparti troppo. Nel momento in cui però esci dalla teoria in questione i due oggetti sono distinti.
Non ho capito molto del tuo esempio. Ma sono propenso a dire che è parzialmente così. Insomma alcuni oggetti, in alcune teorie matematiche, sono indistinguibili in quella particolare teoria. All'interno di quella particolare teoria puoi quindi lavorare indifferentemente con uno o l'altro senza preoccuparti troppo. Nel momento in cui però esci dalla teoria in questione i due oggetti sono distinti.
Ciao vict, stavo cercando di comprendere bene il concetto di numero naturale, e cercavo di farlo osservando il modo in cui gli enti 0,1,2,3 e la parola "numero naturale" è definita in matematica. Come riferimento stavo usando il mio libro di algebra del liceo.
Il mio libro, forse in modo un pò rozzo, definisce ad esempio 2 la classe di equivalenza degli insiemi equipotenti all'insieme degli occhi di un uomo. Ora, la classe di equivalenza è un insieme di insiemi, in questo caso ha come elementi infiniti insiemi ognuno formato da una coppia di elementi, ok? In base alla definizione di 2 che il mio libro dà, io posso associare il nome 2 alla classe di equivalenza, cioé ad un insieme di insiemi. Tuttavia, nella VITA QUOTIDIANA, si attribuisce il nome 2 agli elementi di questa classe, e non alla classe. Non so se hai capito il mio dubbio. Nel linguaggio comune il simbolo 2 lo associo ad un qualunque insieme equipotente all'insieme degli occhi di un uomo. La definizione di 2 che si dà in matematica, invece, chiama 2 non i singoli elementi (che sono insiemi) della classe, ma la classe.
Tuttavia, poiché il libro specifica che ogni elemento della classe può rappresentare la classe, allora ho pensato che grazie a ciò posso associare 2 anche ai singoli elementi della classe, e non solo alla classe come la definizione dice.
Il mio libro, forse in modo un pò rozzo, definisce ad esempio 2 la classe di equivalenza degli insiemi equipotenti all'insieme degli occhi di un uomo. Ora, la classe di equivalenza è un insieme di insiemi, in questo caso ha come elementi infiniti insiemi ognuno formato da una coppia di elementi, ok? In base alla definizione di 2 che il mio libro dà, io posso associare il nome 2 alla classe di equivalenza, cioé ad un insieme di insiemi. Tuttavia, nella VITA QUOTIDIANA, si attribuisce il nome 2 agli elementi di questa classe, e non alla classe. Non so se hai capito il mio dubbio. Nel linguaggio comune il simbolo 2 lo associo ad un qualunque insieme equipotente all'insieme degli occhi di un uomo. La definizione di 2 che si dà in matematica, invece, chiama 2 non i singoli elementi (che sono insiemi) della classe, ma la classe.
Tuttavia, poiché il libro specifica che ogni elemento della classe può rappresentare la classe, allora ho pensato che grazie a ciò posso associare 2 anche ai singoli elementi della classe, e non solo alla classe come la definizione dice.
Per semplicità, faccio le mie considerazioni in \(\mathbb{R}^2\), ma possono essere estese senza troppe difficoltà a qualsiasi spazio euclideo \(n\)-dimensionale.
Data una classe di equivalenza del tuo insieme quoziente, se tu consideri una qualunque delle rette contenute nella classe, essa avrà la stessa direzione di tutte le altre. Infatti:
Ad esempio: qualunque rappresentante tu prenda, avrà lo stesso coefficiente angolare di tutte le altre rette nella classe d'equivalenza. Da quel punto di vista sono completamente indistinguibili, quindi se quel che ti interessa sono i coefficienti angolari, puoi lavorare sull'insieme quoziente e definire sull'insieme quoziente un concetto analogo al coefficiente angolare, in cui il "coefficiente-angolare-like" di una classe è il coefficiente angolare di uno qualsiasi dei suoi elementi (espressione equivalente: il coefficiente angolare di una classe è il coefficiente angolare di un qualsiasi rappresentante). Dal punto di vista insiemistico rette distinte sono, per l'appunto, distinte, contengono punti diversi. Se devi identificare un punto come intersezione di due rette non parallele è ovvio che non puoi estendere il concetto sul quoziente da te definito.
Francamente, in teoria degli insiemi non ho mai trovato da nessuna parte la definizione di "nome". Quindi questa frase, in questo contesto, è priva di senso.
È come affermare che "si definisce volatile ogni animale in grado di comportarsi come un aereo".
No. Comunque la frase è sbagliata su più livelli. A fare i filosofi e fingere che Russell non sia mai nato, il massimo che si può dire è che in tutti i contesti in cui l'unica cosa che conta è la cardinalità di un insieme, tutti gli insiemi con la stessa cardinalità sono indistinguibili. In Italia a seguito di frasi del genere spesso fa eco un'espressione di gratitudine alle pudenda maschili. Continui a parlare di "chiamare", "nominare" ecc., ma, come ho già detto, il concetto di nome in teoria degli insiemi non è definito.
In generale è una cattiva idea. I libri del liceo sono scritti per motivare la matematica a ragazzi che per lo più la trovano inutile o non hanno la minima voglia di fare sforzi di astrazione, quindi gli autori devono "razionalizzare" (passatemi il termine) il più possibile, facendo compromessi tra il modello e alcune applicazioni del modello, senza mai stendere la linea di demarcazione tra dove finisce la parte ipotetico-deduttiva e dove inizia una possibile applicazione.[nota]Mi sa che non hai ancora letto il Lolli, vero?[/nota] Se tu hai compreso l'importanza dello studio fondazionale della matematica, allora mentre rimani nel merito della matematica staccati dalle applicazioni (e studiare da un testo del liceo non ti aiuterà a farlo). Se per te la matematica si risolve nelle sue applicazioni, smetti di farti problemi fondazionali, o non ne uscirai vivo.
Appunto...
Ripeto: no.
Per quanto sia pure plausibile, ritengo improbabile che un testo di matematica metta in relazione le classi di equivalenza coi "nomi".
Neanche un po'. A seconda di come decidi di definire i naturali hai:
\[
\begin{split}
2 &= S(S(0)) \\
{\rm o} \\
2 &= \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \\
{\rm o} \\
2 &= \{ \{ \emptyset \} \} \\
{\rm o} \\
2 &= \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{\emptyset, \{ \emptyset \} \} \}
{\rm ecc} \ldots
\end{split}
\]
(nota che il terzo elemento ha cardinalità \(1\) e l'ultimo elemento ha cardinalità \(3\), eppure sono definizione di \(2\) equivalenti alle altre, definendo opportunamente quel che manca per parlare di \(\mathbb{N}\).)
Io sono della scuola di Peano, e preferisco la prima definizione. In ogni caso non puoi "chiamare" (qualunque cosa voglia dire) \(2\) ogni insieme di cardinalità \(2\). Puoi definire la cardinalità, e allora ogni insieme di cardinalità \(2\) avrà cardinalità \(2\) (seguono i ringraziamenti di cui sopra).
Mi limito a citare quanto è già stato detto:
"lisdap":
che significa che un elemento qualunque di una certa classe di equivalenza può essere preso come rappresentante della classe di equivalenza?
Data una classe di equivalenza del tuo insieme quoziente, se tu consideri una qualunque delle rette contenute nella classe, essa avrà la stessa direzione di tutte le altre. Infatti:
"vict85":
L'utilità dei rappresentanti è che certe funzioni sono indipendenti dall'elemento della classe che si sceglie e quindi se ne prende uno a caso e si calcola il valore per quello.
Ad esempio: qualunque rappresentante tu prenda, avrà lo stesso coefficiente angolare di tutte le altre rette nella classe d'equivalenza. Da quel punto di vista sono completamente indistinguibili, quindi se quel che ti interessa sono i coefficienti angolari, puoi lavorare sull'insieme quoziente e definire sull'insieme quoziente un concetto analogo al coefficiente angolare, in cui il "coefficiente-angolare-like" di una classe è il coefficiente angolare di uno qualsiasi dei suoi elementi (espressione equivalente: il coefficiente angolare di una classe è il coefficiente angolare di un qualsiasi rappresentante). Dal punto di vista insiemistico rette distinte sono, per l'appunto, distinte, contengono punti diversi. Se devi identificare un punto come intersezione di due rette non parallele è ovvio che non puoi estendere il concetto sul quoziente da te definito.
"lisdap":
Se io assegno un nome ad una certa classe di equivalenza, ogni elemento della classe di equivalenza avrà quel nome?
Francamente, in teoria degli insiemi non ho mai trovato da nessuna parte la definizione di "nome". Quindi questa frase, in questo contesto, è priva di senso.
"lisdap":
Ad esempio, in matematica si definisce 3 la classe di equivalenza degli insiemi equipotenti all'insieme dei vertici di un triangolo.
È come affermare che "si definisce volatile ogni animale in grado di comportarsi come un aereo".
"lisdap":
Visto che i libri dicono che un qualunque elemento della classe di equivalenza può rappresentare quest'ultima, allora anche ognuno degli elementi della classe di equivalenza degli insiemi equipotenti all'insieme dei vertici di un triangolo può chiamarsi 3?
No. Comunque la frase è sbagliata su più livelli. A fare i filosofi e fingere che Russell non sia mai nato, il massimo che si può dire è che in tutti i contesti in cui l'unica cosa che conta è la cardinalità di un insieme, tutti gli insiemi con la stessa cardinalità sono indistinguibili. In Italia a seguito di frasi del genere spesso fa eco un'espressione di gratitudine alle pudenda maschili. Continui a parlare di "chiamare", "nominare" ecc., ma, come ho già detto, il concetto di nome in teoria degli insiemi non è definito.
"lisdap":
Ciao vict, stavo cercando di comprendere bene il concetto di numero naturale, e cercavo di farlo osservando il modo in cui gli enti 0,1,2,3 e la parola "numero naturale" è definita in matematica. Come riferimento stavo usando il mio libro di algebra del liceo.
In generale è una cattiva idea. I libri del liceo sono scritti per motivare la matematica a ragazzi che per lo più la trovano inutile o non hanno la minima voglia di fare sforzi di astrazione, quindi gli autori devono "razionalizzare" (passatemi il termine) il più possibile, facendo compromessi tra il modello e alcune applicazioni del modello, senza mai stendere la linea di demarcazione tra dove finisce la parte ipotetico-deduttiva e dove inizia una possibile applicazione.[nota]Mi sa che non hai ancora letto il Lolli, vero?[/nota] Se tu hai compreso l'importanza dello studio fondazionale della matematica, allora mentre rimani nel merito della matematica staccati dalle applicazioni (e studiare da un testo del liceo non ti aiuterà a farlo). Se per te la matematica si risolve nelle sue applicazioni, smetti di farti problemi fondazionali, o non ne uscirai vivo.
"lisdap":
Il mio libro, forse in modo un pò rozzo, definisce ad esempio 2 la classe di equivalenza degli insiemi equipotenti all'insieme degli occhi di un uomo.
Appunto...
"lisdap":
Ora, la classe di equivalenza è un insieme di insiemi, in questo caso ha come elementi infiniti insiemi ognuno formato da una coppia di elementi, ok?
Ripeto: no.
"lisdap":
In base alla definizione di 2 che il mio libro dà, io posso associare il nome 2 alla classe di equivalenza
Per quanto sia pure plausibile, ritengo improbabile che un testo di matematica metta in relazione le classi di equivalenza coi "nomi".
"lisdap":
La definizione di 2 che si dà in matematica, invece, chiama 2 non i singoli elementi (che sono insiemi) della classe, ma la classe.
Neanche un po'. A seconda di come decidi di definire i naturali hai:
\[
\begin{split}
2 &= S(S(0)) \\
{\rm o} \\
2 &= \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \\
{\rm o} \\
2 &= \{ \{ \emptyset \} \} \\
{\rm o} \\
2 &= \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{\emptyset, \{ \emptyset \} \} \}
{\rm ecc} \ldots
\end{split}
\]
(nota che il terzo elemento ha cardinalità \(1\) e l'ultimo elemento ha cardinalità \(3\), eppure sono definizione di \(2\) equivalenti alle altre, definendo opportunamente quel che manca per parlare di \(\mathbb{N}\).)
Io sono della scuola di Peano, e preferisco la prima definizione. In ogni caso non puoi "chiamare" (qualunque cosa voglia dire) \(2\) ogni insieme di cardinalità \(2\). Puoi definire la cardinalità, e allora ogni insieme di cardinalità \(2\) avrà cardinalità \(2\) (seguono i ringraziamenti di cui sopra).
"lisdap":
Tuttavia, poiché il libro specifica che ogni elemento della classe può rappresentare la classe, allora ho pensato che grazie a ciò posso associare 2 anche ai singoli elementi della classe, e non solo alla classe come la definizione dice.
Mi limito a citare quanto è già stato detto:
"vict85":
alcuni oggetti, in alcune teorie matematiche, sono indistinguibili in quella particolare teoria. All'interno di quella particolare teoria puoi quindi lavorare indifferentemente con uno o l'altro senza preoccuparti troppo. Nel momento in cui però esci dalla teoria in questione i due oggetti sono distinti.
Mi sa che non ci siamo capiti, Epimenide. Fai riferimento alle definizioni dei numeri naturali tramite la teoria degli insiemi.
Ti accorgerai che 2, ad esempio, è definito come la classe di equivalenza degli insiemi equipotenti agli occhi di un uomo. Cioè 2 è un insieme che ha come elementi tutti gli insiemi equipotenti agli occhi di un uomo. Anche se questa definizione è rozza e pecoreccia credo che nella sostanza ci siamo (non me la sono inventata io, ma il mio libro del liceo).
Ora pensa un attimo a come tu utilizzi 2 nel linguaggio comune. Tu associ 2 ad un insieme di insiemi (come la definizione sopra data esige), oppure lo associ agli "occhi di un uomo"? Tu associ 2 ad una coppia di oggetti.
Spero che fin qui siamo d'accordo.
Se si, come vedi non c'è accordo tra l'utilizzo di 2 nel linguaggio comune e il modo in cui 2 è definito in mate. In mate, 2 è una certa classe di equivalenza, non è uno qualunque degli elementi che giace in tale classe.
Ti accorgerai che 2, ad esempio, è definito come la classe di equivalenza degli insiemi equipotenti agli occhi di un uomo. Cioè 2 è un insieme che ha come elementi tutti gli insiemi equipotenti agli occhi di un uomo. Anche se questa definizione è rozza e pecoreccia credo che nella sostanza ci siamo (non me la sono inventata io, ma il mio libro del liceo).
Ora pensa un attimo a come tu utilizzi 2 nel linguaggio comune. Tu associ 2 ad un insieme di insiemi (come la definizione sopra data esige), oppure lo associ agli "occhi di un uomo"? Tu associ 2 ad una coppia di oggetti.
Spero che fin qui siamo d'accordo.
Se si, come vedi non c'è accordo tra l'utilizzo di 2 nel linguaggio comune e il modo in cui 2 è definito in mate. In mate, 2 è una certa classe di equivalenza, non è uno qualunque degli elementi che giace in tale classe.
"lisdap":
Fai riferimento alle definizioni dei numeri naturali tramite la teoria degli insiemi.
Utilizzando la teoria degli insiemi si possono dare diverse definizioni di numero naturale, e sebbene non ami ripetermi, a seconda di come decidi di definire i naturali hai:
\[
\begin{split}
2 &= \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \\
{\rm o} \\
2 &= \{ \{ \emptyset \} \} \\
{\rm o} \\
2 &= \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{\emptyset, \{ \emptyset \} \} \}
{\rm ecc} \ldots
\end{split}
\]
e ti faccio di nuovo notare che sono tre definizioni equivalenti del numero 2, derivate da tre definizioni equivalenti di numero naturale, e che la cardinalità è un'altra cosa, infatti il terzo elemento ha cardinalità \(1\) e l'ultimo elemento ha cardinalità \(3\), ma questi insiemi determinano il numero due (definendo opportunamente gli altri naturali e le operazioni che danno ad \(\mathbb{N}\) la sua struttura).
Ho praticamente riscritto quello che avevo scritto prima, cos'è che non ti è chiaro?
"lisdap":
Ti accorgerai che 2, ad esempio, è definito come la classe di equivalenza degli insiemi equipotenti agli occhi di un uomo. Cioè 2 è un insieme che ha come elementi tutti gli insiemi equipotenti agli occhi di un uomo.
In che sistema assiomatico stai lavorando? Perché in tutti quelli che conosco, o di cui ho sentito parlare (ZF(C), NBG, TG e altre) è priva di senso in quanto richiede di fare un quoziente sull'insieme di tutti gli insiemi, che non esiste.
"lisdap":
Anche se questa definizione è rozza e pecoreccia credo che nella sostanza ci siamo (non me la sono inventata io, ma il mio libro del liceo).
No, non è rozza, in tal caso ci si potrebbe passare sopra, è completamente inconsistente. Un testo di liceo non ha alcun valore in questa discussione, in quanto non fornisce una presentazione assiomatica, ma una motivazione empirica dei concetti che presenta, qui stiamo discutendo problemi fondazionali, quindi dobbiamo fare le cose per bene per evitare problemi logici. Se uno "si fida" che le cose in qualche modo si possano far funzionare, è sufficiente una presentazione ingenua, ma allora non è il caso di discutere cosa sta alle fondamenta del discorso, se si vuole entrare nel merito di come le cose funzionino, allora bisogna guardarle in faccia, e una presentazione ingenua non va più bene perché ci fa precipitare molto velocemente verso qualche paradosso.
"lisdap":
Ora pensa un attimo a come tu utilizzi 2 nel linguaggio comune. Tu associ 2 ad un insieme di insiemi (come la definizione sopra data esige), oppure lo associ agli "occhi di un uomo"? Tu associ 2 ad una coppia di oggetti.
Spero che fin qui siamo d'accordo.
Mi spiace ma no. Io non vedo/concepisco/percepisco istintivamente il 2 come te, ma in questo contesto poco importa. Non stiamo facendo né studi linguistici, né gnoseologici, né ontologici, né neurocognitivi, ma matematici (a meno che non stia fraintendendo lo scopo del forum), e nella matematica le discussioni sul linguaggio comune non hanno alcuna importanza. Se vuoi guardare la cosa da un punto di vista non matematico non dubito che tu possa speculare un casino su quel che ti pare, e che ci siano dozzine di scuole di pensiero al riguardo, ma se vuoi fare le cose in maniera matematica non c'è spazio per le ambiguità (e infatti funziona tutto), e questa discussione è sterile.
"lisdap":
non c'è accordo tra l'utilizzo di 2 nel linguaggio comune e il modo in cui 2 è definito in mate
Penso sia una cosa piuttosto soggettiva, e in qualche accezione e da qualche punto di vista anche possa anche essere vero quel che dici, ma francamente non vedo né dove sia il problema, né dove tu voglia arrivare. Mi dispiace ma non la penso come Galileo e non credo che la matematica descriva la realtà. Penso possa essere estremamente utile per rappresentarla, a patto di usare in contesti diversi modelli diversi, cercando di scegliere in ogni contesto il modello più appropriato. Se quel che vuoi fare è contare, fidati che il modello dei numeri naturali va più che bene.
Secondo me voi matematici vi nascondete dietro questo approccio assiomatico e fate orecchie da mercante 
La matematica si è sempre basata, come ogni cosa, sul linguaggio parlato, infatti molti matematici e logici erano anche dei linguisti!
Quella degli assiomi è solo un capriccio dei matematici, una malattia se vogliamo, per rendere tutto "perfetto". Ma questo ha come contro una grande sterilizzazione della matematica. La matematica è nata parallelamente allo sviluppo del linguaggio e si basa su esso.........sterilizzarla con questi assiomi è necessario per placare le paranoie mentali dei matematici..........senza assiomi la realtà funzionerebbe lo stesso.......i motori a vapore funzionavano ugualmente bene!
Scusa Epimenide, ma se tu vedi una roba tipo L L ........tu che cosa rispondi? Dirai "due elle"......associ alla visione LL le locuzioni due ed elle. Se non ci troviamo nemmeno sull'utilizzo del 2 nel linguaggio naturale allora siamo molto molto lontani......sono io che sono stato programmato male? Possibile??? EPpure a scuola sono sempre andato bene!
La matematica si è sempre basata, come ogni cosa, sul linguaggio parlato, infatti molti matematici e logici erano anche dei linguisti!
Quella degli assiomi è solo un capriccio dei matematici, una malattia se vogliamo, per rendere tutto "perfetto". Ma questo ha come contro una grande sterilizzazione della matematica. La matematica è nata parallelamente allo sviluppo del linguaggio e si basa su esso.........sterilizzarla con questi assiomi è necessario per placare le paranoie mentali dei matematici..........senza assiomi la realtà funzionerebbe lo stesso.......i motori a vapore funzionavano ugualmente bene!
Scusa Epimenide, ma se tu vedi una roba tipo L L ........tu che cosa rispondi? Dirai "due elle"......associ alla visione LL le locuzioni due ed elle. Se non ci troviamo nemmeno sull'utilizzo del 2 nel linguaggio naturale allora siamo molto molto lontani......sono io che sono stato programmato male? Possibile??? EPpure a scuola sono sempre andato bene!
"lisdap":
Ti accorgerai che 2, ad esempio, è definito come la classe di equivalenza degli insiemi equipotenti agli occhi di un uomo. Cioè 2 è un insieme che ha come elementi tutti gli insiemi equipotenti agli occhi di un uomo. Anche se questa definizione è rozza e pecoreccia credo che nella sostanza ci siamo (non me la sono inventata io, ma il mio libro del liceo).
1° cita almeno titolo & autore del libro del liceo
2° stai mettendo troppe cose nel brodo, quando dici "un insieme che ha come elementi tutti gli insiemi equipotenti" dici una cosa inesatta grande quanto una casa perchè non è un insieme (a seconda di dove ci mettiamo, penso tu in \(\textsf{ZFC}\)), per essere precisi è una classe.. volendo entrare nel tuo discorso cercando di capire cosa intendi, dal Pagani-Salsa (se ricordo bene) potrai leggete:
dato \(t\) un insieme dicesi cardinalità di \(t\) la classe \(\operatorname{card}(t)=\{x|x \sim t\}\); dicesi successivo di \(t\) l'insieme \(t^+=(t\cup \{t\})\), si pone \( 0:=\operatorname{card}(\emptyset)\) e si continua nel seguente modo $$1:=\operatorname{card}(\emptyset^+)$$$$2:=\operatorname{card}({\emptyset^+}^+)$$$$3:=\operatorname{card}({{\emptyset^+}^+}^+)$$$$\text{e così via}$$ma come faceva notare Epimenide93
in \(\textsf{ZFC}\) non è corretta una simile costruzione [nota]se la memoria non mi inganna, in \(\textsf{ZFC}\) si adotta per costruire la nozione di cardinalità il metodo/trucco di Dana Scott[/nota], o magari tu lavori in qualche assiomatica di insiemi con classi!?... insomma cerca di essere più preciso, la questione è delicata quanto profonda, non renderla banale (almeno in questa sezione)"lisdap":@lisdap, a me sembra che hai cambiato pentola ma riproponi la stessa minestra...
Ora pensa un attimo a come tu utilizzi 2 nel linguaggio comune. Tu associ 2 ad un insieme di insiemi (come la definizione sopra data esige), oppure lo associ agli "occhi di un uomo"? Tu associ 2 ad una coppia di oggetti.
Spero che fin qui siamo d'accordo.
Se si, come vedi non c'è accordo tra l'utilizzo di 2 nel linguaggio comune e il modo in cui 2 è definito in mate. In mate, 2 è una certa classe di equivalenza, non è uno qualunque degli elementi che giace in tale classe.
"lisdap":
Secondo me voi matematici vi nascondete dietro questo approccio assiomatico e fate orecchie da mercante
La matematica si è sempre basata, come ogni cosa, sul linguaggio parlato, infatti molti matematici e logici erano anche dei linguisti!
Dal momento che i linguaggi naturali sono l'unico modo sufficientemente potente e diretto che abbiamo per esprimerci, è ovvio che siano il medium principale, ciò non toglie che il linguaggio logico sia proprio nato per superare problemi specifici dei linguaggi naturali, in primo luogo le ambiguità. Molti degli errori che commetti sono dovuti alla tua incapacità di scindere accezioni diverse degli stessi termini.
"lisdap":
Quella degli assiomi è solo un capriccio dei matematici, una malattia se vogliamo, per rendere tutto "perfetto". Ma questo ha come contro una grande sterilizzazione della matematica. La matematica è nata parallelamente allo sviluppo del linguaggio e si basa su esso.........sterilizzarla con questi assiomi è necessario per placare le paranoie mentali dei matematici..........
Se l'approccio assiomatico è solo un capriccio mi spieghi perché vuoi parlare di numeri in termini di classi di equivalenza? Esempio piuttosto random, tanto per capirci: «Se si tratta di costruire un ponte, il modello atomico di Bohr è troppo raffinato, non serve a nulla.» È un punto di vista legittimo, qualcuno può condividerlo, qualcuno no. Se l'ingegnere che vuole costruire il ponte è di questo parere, ma ogni volta che apre bocca si mette a giustificare le sue scelte parlando di orbitali, livelli energetici, funzioni d'onda, per poi dare spiegazioni ibride in cui infila in mezzo concetti relativi agli altri modelli atomici, che in quello di Bohr non sono contemplati, non trovi che una tale persona sia quantomeno incoerente? Nessuno ti vieta di ragionare a spanne, se non ti piace l'approccio assiomatico, ma abbi la decenza di non usare concetti definiti in una teoria assiomatica, altrimenti non ne veniamo fuori.
"lisdap":
senza assiomi la realtà funzionerebbe lo stesso.......i motori a vapore funzionavano ugualmente bene!
Questa frase palesa quanto tu abbia capito poco sia della matematica che del metodo scientifico.
"lisdap":
Scusa Epimenide, ma se tu vedi una roba tipo L L ........tu che cosa rispondi? Dirai "due elle"......associ alla visione LL le locuzioni due ed elle. Se non ci troviamo nemmeno sull'utilizzo del 2 nel linguaggio naturale allora siamo molto molto lontani......
Probabilmente lo siamo.
"lisdap":
sono io che sono stato programmato male? Possibile??? EPpure a scuola sono sempre andato bene!
Ma smettila di dividere il mondo in cose giuste e sbagliate! Possiamo avere idee diverse, non è detto che uno di noi debba sbagliarsi. Tu non sbagli in senso assoluto, tu sbagli perché vuoi infilare una tua visione estremamente personale in un contesto scientifico incompatibile col tuo modo di vedere le cose. Non sei costretto ad adattarti, puoi vivere serenamente con la tua idea, solo smettila di arrovellarti su come armonizzare le due visioni: non è possibile.
Io ti inviterei prima di decidere se abbandonare il tuo modo di vedere le cose o quello scientifico a capire bene quello scientifico, cercando di studiarlo con onestà intellettuale per capire cosa aveva in mente chi lo ha sviluppato, e non limitandoti a cercare conferme alle tue idee, ignorando le parti che le smentiscono. Una volta che avrai ben chiare in mente sia la tua precisa idea che quella diffusa in ambito scientifico potrai tirare le somme in maniera ottimale. Se non ti va fai un po' come ti pare, ma per la tua salute e per il benessere del forum smettila di cercare di quadrare il cerchio.
Ricorda che capire il punto di vista di un'altro non ti costringe a cambiare il tuo, ma ti apre la mente. Tu molte volte quando ricevi risposte contrarie al tuo modo di vedere inizi subito col difendere le tue idee, quando spesso chi ti risponde ha evidentemente capito quello che sostieni, e hai ammesso più volte di non capire le posizioni di chi sosteneva un'idea diversa dalla tua. Per una volta, prova a capirle. Non partire dal presupposto che chi ti contraddice stia sbagliando, cerca di capire le idee che rendono valida dal punto di vista del tuo interlocutore la sua tesi. Ripeto: fare uno sforzo per capire il loro punto di vista non ti costringerà ad abbandonare il tuo. Una volta che hai chiari in mente entrambi i punti di vista ed le ragioni dietro ad entrambi è più facile qualsiasi tipo di analisi. Chiunque prima di giungere ad una conclusione parte da dei presupposti e fa dei ragionamenti, se qualcuno la pensa diversamente da te cerca di capire i presupposti da cui sono partiti ed i ragionamenti che li hanno portati a trarre le loro conclusioni. Non essere ingenuo e non partire dal presupposto che se la conclusione non ti soddisfa allora presupposti e ragionamenti sono insensati.
"Platone - La Repubblica, libro VII":3h095hjo:
«Ma una persona assennata», ripresi, «si ricorderebbe che i disturbi agli occhi sono di due tipi e duplice è la loro
causa: il passaggio dalla luce all'oscurità e dall'oscurità alla luce.
Considerando che la stessa cosa accade all'anima, qualora ne vedesse una turbata e incapace di vedere non riderebbe
sconsideratamente, ma esaminerebbe se è ottenebrata dalla mancanza d'abitudine perché proviene da una vita più
luminosa, o è rimasta abbagliata da una luce più splendida perché procede verso una vita più luminosa da una maggiore
ignoranza, e allora stimerebbe felice l'una per ciò che prova e per la vita che conduce, e avrebbe compassione dell'altra; e
quand'anche volesse ridere di questa, il suo riso riuscirebbe meno inopportuno che se fosse riservato all'anima proveniente
dall'alto, alla luce».
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