Classe di coniugio
Ciao a tutti, ho provato a risolvere il seguente esercizio, ma penso che esista un modo più rapido.
Sono partito dal fatto che la classe di coniugio in $S_4$, $Cl(\sigma) = {s \sigma s^{-1} | s \in S_4}$ contiene tutti i 3-cicli. I 3-cicli dovrebbero essere le combinazioni di 4 numeri presi a 3 a 3 contati 2 volte: $2((4),(3)) = 8$. Sono quindi le 4 combinazioni $A = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)}$ che possono essere lette anche da destra a sinistra o, equivalentemente, componendo una trasposizione sugli ultimi due elementi di ognuna: $B={(1, 3, 2), (1, 4, 2), (1, 4, 3), (2, 4, 3)}$. La classe di coniugio a cui appartiene $\sigma$ in $A_4$ è $Cl(\sigma_{A_4})={a \sigma a^{-1}|a \in A_4}$. Il problema è che dovrei provare tutti gli $a \in A_4$ che sono, oltre all'identità, gli 8 3-cicli e i 3 2,2-cicli. La cosa mi sembra troppo lunga per un esercizio, ma non mi viene in mente un modo per capire la cardinalità di $Cl(\sigma_{A_4})$ o qualche altra idea. Qualcuno avrebbe dei consigli, per favore?
Grazie in anticipo
Consideriamo la permutazione $\sigma = (1, 2, 3) \in S_4$. Qual è la classe di coniugio a cui appartiene $\sigma$ in $A_4$?
Sono partito dal fatto che la classe di coniugio in $S_4$, $Cl(\sigma) = {s \sigma s^{-1} | s \in S_4}$ contiene tutti i 3-cicli. I 3-cicli dovrebbero essere le combinazioni di 4 numeri presi a 3 a 3 contati 2 volte: $2((4),(3)) = 8$. Sono quindi le 4 combinazioni $A = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)}$ che possono essere lette anche da destra a sinistra o, equivalentemente, componendo una trasposizione sugli ultimi due elementi di ognuna: $B={(1, 3, 2), (1, 4, 2), (1, 4, 3), (2, 4, 3)}$. La classe di coniugio a cui appartiene $\sigma$ in $A_4$ è $Cl(\sigma_{A_4})={a \sigma a^{-1}|a \in A_4}$. Il problema è che dovrei provare tutti gli $a \in A_4$ che sono, oltre all'identità, gli 8 3-cicli e i 3 2,2-cicli. La cosa mi sembra troppo lunga per un esercizio, ma non mi viene in mente un modo per capire la cardinalità di $Cl(\sigma_{A_4})$ o qualche altra idea. Qualcuno avrebbe dei consigli, per favore?
Grazie in anticipo
Risposte
Ti dò 3 idee. Sia $sigma=(123) in S_4$.
1. Due permutazioni in $S_n$ sono coniugate in $S_n$ se e solo se hanno la stessa struttura ciclica (questo dovresti averlo studiato). Quindi per esempio la classe di coniugio di $sigma$ in $S_4$ è l'insieme di tutti i $3$-cicli (la classe di coniugio di $sigma$ in $S_4$, non in $A_4$, attenzione).
2. Se $tau in S_4$ è tale che $sigma tau = tau sigma$ allora $tau in {1,sigma,sigma^2}$, in particolare $tau in A_4$. Prova a dimostrarlo, non è difficile.
3. Usando il punto precedente dimostra che se $x in S_4$ non appartiene ad $A_4$ allora non esiste nessun $y in A_4$ tale che $y sigma y^(-1) = x sigma x^(-1)$.
Usando queste idee ti dovrebbe risultare possibile risolvere l'esercizio.
1. Due permutazioni in $S_n$ sono coniugate in $S_n$ se e solo se hanno la stessa struttura ciclica (questo dovresti averlo studiato). Quindi per esempio la classe di coniugio di $sigma$ in $S_4$ è l'insieme di tutti i $3$-cicli (la classe di coniugio di $sigma$ in $S_4$, non in $A_4$, attenzione).
2. Se $tau in S_4$ è tale che $sigma tau = tau sigma$ allora $tau in {1,sigma,sigma^2}$, in particolare $tau in A_4$. Prova a dimostrarlo, non è difficile.
3. Usando il punto precedente dimostra che se $x in S_4$ non appartiene ad $A_4$ allora non esiste nessun $y in A_4$ tale che $y sigma y^(-1) = x sigma x^(-1)$.
Usando queste idee ti dovrebbe risultare possibile risolvere l'esercizio.
Grazie Martino per la risposta.
Ho provato a sviluppare i punti che mi hai consigliato.
Mi resta però la domanda: per trovare le classi di coniugio $Cl(\sigma_{A_4}) = {a \sigma a^{-1} | a \in A_4}$ devo far passare tutti gli $a \in A_4$? Esiste un modo più rapido?
Questo sì, infatti il problema era proprio che le classi di coniugio $Cl(\sigma)$ in $S_4$ contengono tutti i 3-cicli, ma le classi di coniugio $Cl(\sigma_{A_4})$ non so come sono fatte.
\[
\tau \sigma = \sigma \tau \\
\tau \sigma \tau^{-1} = \sigma \\
\tau (1, 2, 3) \tau^{-1} = (1, 2, 3) \\
(\tau(1), \tau(2), \tau(3)) = (1, 2, 3) \\
\tau \in \{1, \sigma, \sigma^2\}
\]
Suppongo che esista $y \in A_4$.
\[
y \sigma y^{-1} = x \sigma x^{-1} \\
\sigma = (y^{-1}x) \sigma (x^{-1}y) \\
\sigma = (y^{-1}x) \sigma (y^{-1}x)^{-1} \Rightarrow y^{-1}x \in A_4 \Rightarrow yy^{-1}x \in A_4 \Rightarrow x \in A_4
\]
Ho provato a sviluppare i punti che mi hai consigliato.
Mi resta però la domanda: per trovare le classi di coniugio $Cl(\sigma_{A_4}) = {a \sigma a^{-1} | a \in A_4}$ devo far passare tutti gli $a \in A_4$? Esiste un modo più rapido?
"Martino":
Sia $ sigma=(123) in S_4 $.
1. Due permutazioni in $ S_n $ sono coniugate in $ S_n $ se e solo se hanno la stessa struttura ciclica (questo dovresti averlo studiato). Quindi per esempio la classe di coniugio di $ sigma $ in $ S_4 $ è l'insieme di tutti i $ 3 $-cicli (la classe di coniugio di $ sigma $ in $ S_4 $, non in $ A_4 $, attenzione).
Questo sì, infatti il problema era proprio che le classi di coniugio $Cl(\sigma)$ in $S_4$ contengono tutti i 3-cicli, ma le classi di coniugio $Cl(\sigma_{A_4})$ non so come sono fatte.
"Martino":
2. Se $ tau in S_4 $ è tale che $ sigma tau = tau sigma $ allora $ tau in {1,sigma,sigma^2} $, in particolare $ tau in A_4 $. Prova a dimostrarlo, non è difficile.
\[
\tau \sigma = \sigma \tau \\
\tau \sigma \tau^{-1} = \sigma \\
\tau (1, 2, 3) \tau^{-1} = (1, 2, 3) \\
(\tau(1), \tau(2), \tau(3)) = (1, 2, 3) \\
\tau \in \{1, \sigma, \sigma^2\}
\]
"Martino":
3. Usando il punto precedente dimostra che se $ x in S_4 $ non appartiene ad $ A_4 $ allora non esiste nessun $ y in A_4 $ tale che $ y sigma y^(-1) = x sigma x^(-1) $.
Suppongo che esista $y \in A_4$.
\[
y \sigma y^{-1} = x \sigma x^{-1} \\
\sigma = (y^{-1}x) \sigma (x^{-1}y) \\
\sigma = (y^{-1}x) \sigma (y^{-1}x)^{-1} \Rightarrow y^{-1}x \in A_4 \Rightarrow yy^{-1}x \in A_4 \Rightarrow x \in A_4
\]
"Martino":Non capisco come si possa evitare lo scorrere di tutti gli $a \in A_4$. Ce n'è qualcuno che posso tralasciare? C'è il modo di conoscere l'ordine di $A_4$ e poi si prova con qualche elemento?
Usando queste idee ti dovrebbe risultare possibile risolvere l'esercizio.
La classe di $sigma$ in $A_4$ è ovviamente contenuta nella sua classe in $S_4$, che consiste degli 8 3-cicli. Per il terzo item che ti ho indicato, tutte le permutazioni $x sigma x^(-1)$ con $x$ permutazione dispari non sono coniugate a $sigma$ in $A_4$. Usando questo argomento dovrebbe risultarti facile eliminare alcuni dei 3-cicli (ovvero mostrare che non stanno nella classe di $sigma$ in $A_4$).
Inoltre ora che hai dimostrato che il centralizzante $C$ di $sigma$ in $A_4$ ha ordine $3$, puoi dedurre che la classe di coniugio ha cardinalità $|A_4:C|=12//3=4$ (equazione orbita-stabilizzatore). Quindi ti rimarranno esattamente 4 3-cicli dopo aver eliminato quelli di cui sopra, e non ti servirà neanche mostrare che i rimanenti stanno nella classe perché già lo sai, per il fatto che la classe ha esattamente 4 elementi.
Per fare tutto questo non serve considerare tutti gli $a in A_4$. Anzi, questo argomento ti permette di generalizzare ad ogni $A_n$ con $n$ pari, scegliendo come $sigma$ un $(n-1)$-ciclo.
Inoltre ora che hai dimostrato che il centralizzante $C$ di $sigma$ in $A_4$ ha ordine $3$, puoi dedurre che la classe di coniugio ha cardinalità $|A_4:C|=12//3=4$ (equazione orbita-stabilizzatore). Quindi ti rimarranno esattamente 4 3-cicli dopo aver eliminato quelli di cui sopra, e non ti servirà neanche mostrare che i rimanenti stanno nella classe perché già lo sai, per il fatto che la classe ha esattamente 4 elementi.
Per fare tutto questo non serve considerare tutti gli $a in A_4$. Anzi, questo argomento ti permette di generalizzare ad ogni $A_n$ con $n$ pari, scegliendo come $sigma$ un $(n-1)$-ciclo.
Grazie mille, la chiave che mi mancava era considerare l'ordine del centralizzante di $\sigma$.
Quindi, considerato tutto quanto, dovrebbe essere sufficiente provare:
\[
(1, 2)(3, 4)(1, 2, 3)(1, 2)(3, 4) = (1, 4, 2) \\
(1, 3)(2, 4)(1, 2, 3)(1, 3)(2, 4) = (1, 3, 4) \\
(1, 4)(2, 3)(1, 2, 3)(1, 4)(2, 3) = (2, 4, 3) \\
\]
da cui
$Cl(\sigma_{A_4}) = {(1, 2, 3), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (2, 4, 3)}$
Se è corretto, ti ringrazio ancora e ti auguro buona domenica
Quindi, considerato tutto quanto, dovrebbe essere sufficiente provare:
\[
(1, 2)(3, 4)(1, 2, 3)(1, 2)(3, 4) = (1, 4, 2) \\
(1, 3)(2, 4)(1, 2, 3)(1, 3)(2, 4) = (1, 3, 4) \\
(1, 4)(2, 3)(1, 2, 3)(1, 4)(2, 3) = (2, 4, 3) \\
\]
da cui
$Cl(\sigma_{A_4}) = {(1, 2, 3), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (2, 4, 3)}$
Se è corretto, ti ringrazio ancora e ti auguro buona domenica
Esatto, forse i miei suggerimenti erano sovrabbondanti ma è in genere quello che si fa in questi casi, ci sono alcuni elementi di $A_n$ la cui classe in $A_n$ non coincide con la loro classe in $S_n$ (come in questo caso), e questi elementi sono caratterizzati dall'essere prodotto di cicli disgiunti di ordine dispari e ordini due a due distinti (inclusi gli 1-cicli). In questo caso la struttura è (3)(1). In questi casi la $S_n$-classe è sempre unione di esattamente due $A_n$-classi (di uguale cardinalità). Ciao!
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