Classe dei resti o di congruenza modulo n

[gundamrx91-votailprof]

Preso un generico $n in NN$ e che una generica classe dei resti sia definita come $[x]_(mod n) = {nh+x | h in ZZ}$

non riesco a capire un passaggio della mia dispensa quando dice testualmente che:

"se $s in [r]_(mod n)$, allora la classe $[r]_(mod n)$ potra' essere denotata con $_(mod n)$."

Se ad esempio prendo la classe $[1]_(mod 5)$ che e' formata dai multipli di $5+1$ e cioe' $[1]_(mod 5) = {1,6,-4,11,-9,16,-14,21,-19,...}$
scrivere che $s in [1]_(mod 5)$ si intende che $s$ ne e' un suo elemento, come 16 ad esempio, pero' $[16]_(mod 5)$ non e' definibile.....

Vorrei capire cosa non ho capito ....

[Lorin1]

fai attenzione perchè anche gli elementi più grandi come ad esempio $16$ oppure un qualunque $a in ZZ$ sono sempre definibili in aritmetica modulare infatti basta utilizzare l'algoritmo della divisione tra $a in ZZ$ e il numero $n$ che "definisce il modulo" (non sapevo indicarlo meglio, spero che hai capito) e considerare l'ultimo resto non nullo, quello sarà il rappresentante della classe di equivalenza modulo n.

Nell'esempio che hai riportato, dobbiamo dimostrare che se $16 in [1]_(mod5) => [1]_(mo5)=[16]_(mod5)$.
Applicando l'algoritmo della divisione euclidea avremo $16=5*3+1$ e quindi $1$ è l'ultimo resto non nullo, e quindi la tesi. Ricorda che in generale

$[a]_(mod m)={b in ZZ : b=a+mt}={a+mt : t in ZZ}$

nel tuo caso (come osservi anche tu)

$[1]_(mod 5)= {b in ZZ : b=1+5t}$ se $t=3 => b=16$ e le due classi di equivalenza sono proprio uguali.

[gundamrx91-votailprof]

Io avevo capito che la classe dei resti, come dice il nome stesso, indicasse tra le parentesi quadre il resto di una divisione, quindi da $0$ a $9$, e da questo il mio dubbio sull'enunciato della dispensa. Quindi, se ho capito bene, scrivere $[1]_(mod 5) = [16]_(mod 5) = [21]_(mod 5)$ e' corretto, in quanto si parla sempre di una classe di resto, o congruente modulo 5?

[Lorin1]

Si ma infatti sono il resto di una divisione, come ti ho appena spiegato. In particolare sono l'ultimo resto diverso da zero della divisione tra il numero che tu scegli il modulo.

[gundamrx91-votailprof]

Benissimo. Grazie per il chiarimento

[Lorin1]

Prego!