Ciclicità di $U(ZZ/{nZZ})$ e generatori

[Woody1]

Salve a tutti! Gradirei sapere per quali $n \in NN$, $n geq 2$, il gruppo $G_n = U(ZZ/{nZZ})$ è ciclico e quali sono i generatori. Grazie a tutti coloro che risponderanno.

[ficus2002]

é ciclico per i seguenti valori di $n$ : $2, 2^2, p^k$ e $2p^k$ dove $p$ è un primo diverso da $2$ e $k>0$. Per quanto riguarda i generatori non conosco un metodo per determinare i generatori di $U(ZZ/{pZZ})$ con $p$ primo (io vado a tentativi). Cmq se $g$ genera $U(ZZ/{pZZ})$ e se $p^2$ non divide $g^{p-1}-1$ allora $g$ genera $U(ZZ/{p^k ZZ})$ altrimenti $g+p$ genera $U(ZZ/{p^k ZZ})$.

[Woody1]

Ti ringrazio molto! Saluti,

[Sk_Anonymous]

"ficus2002":Per quanto riguarda i generatori non conosco un metodo per determinare i generatori di $U(ZZ/{pZZ})$ con $p$ primo (io vado a tentativi).

Eppure un metodo esiste: provate un po' a cercare in giro alla voce "algoritmo di Gauss". In alternativa, procuratevi le "Disquisitiones Arithmeticae" del buon vecchio Karl. La prima dimostrazione storicamente attestata dell'esistenza di un generatore $mod n$, nel caso in cui $n$ sia primo in $\mathbb{N}$, si fonda appunto sul suo impiego.

[amel3]

A me risulta che la possibilità di trovare un generatore sia legata al concetto di radice primitiva modulo m, cioè se un intero k è una radice primitiva mod m, allora [k] è un generatore di Z/mZ (così il gruppo ciclico), anche se vi possono essere gruppi Z/mZ ciclici che non possono essere determinati con la ricerca di radici primitive. Conosco un teorema che consente di trovare una radice primitiva k mod p (p primo) e quindi un generatore [k] di Z/pZ, se interessa lo posso mostrare (o indicare un link al riguardo).

[ficus2002]

a me interessa (magari mi risparmia un po di conti!)

[Woody1]

Io mi sto però riferendo al gruppo degli invertibili di $ZZ/{nZZ}$, non a $ZZ/{nZZ}$. I generatori di $ZZ/{nZZ}$ sono: ${a+nZZ| (a,n)=1}$ .

[amel3]

Sì, sì avevo capito, forse sono stato un po' troppo impreciso... Comunque il link è questo (il capitolo 4):
http://www.dm.unibo.it/~mmorigi/critt/disp.pdf

[Woody1]

Grazie mille amel! Mi sei stato di aiuto! Ciao!

[ficus2002]

"Woody":Io mi sto però riferendo al gruppo degli invertibili di $ZZ/{nZZ}$, non a $ZZ/{nZZ}$. I generatori di $ZZ/{nZZ}$ sono: ${a+nZZ| (a,n)=1}$ .

Ciò che ha scritto amel è vero, ossia i generatori del gruppo (moltiplicativo) $U(ZZ/{mZZ})$ sono le radici primitive di $m$.

[Sk_Anonymous]

"ficus2002":Ciò che ha scritto amel è vero, ossia i generatori del gruppo (moltiplicativo) $U(ZZ/{mZZ})$ sono le radici primitive di $m$.

...non ne avevamo dubbi!