Ciclicità di \((\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^{\ast}\)
Ciao, amici! Voglio dimostrare che il gruppo \((\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^{\ast}\) delle unità di \(\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}\) con $p$ primo dispari e $r>0$ è ciclico.
Il mio testo suggerisce preliminarmente di dimostrare che il nucleo dell'omomorfismo canonico \((\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^{\ast}\to(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\ast}\) è un gruppo ciclico osservando che $1+p$ ha ordine $p^{r-1}$ in $W$. A me sembra che il nucleo dell'omomorfismo considerato sia \(\{\bar{1}, \overline{1+p},\overline{1+2p}...,\overline{1+(p^{r-1}-1)p}\}\), quindi di ordine $p^{r-1}$ (e perciò se il gruppo generato da $1+p$ ha ordine identico deve coincidere con esso), ma non mi sono riuscito a convincere che $p^{r-1}$ sia il minimo numero naturale $m$ per cui \((\overline{1+p})^{m}=\bar{1}\)...
Inoltre, dimostrato che \(W\subset(\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^{\ast}\) è ciclico*, non saprei proprio come vedere che anche \((\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^{\ast}\) lo è...
Qualcuno potrebbe tirarmi un salvagente...?
Grazie di cuore a tutti!!!
[size=85]
*Cosa che avevo creduto di essere riuscito a fare: se solo ci fossero le soluzioni agli esercizi sul libro...
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Il mio testo suggerisce preliminarmente di dimostrare che il nucleo dell'omomorfismo canonico \((\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^{\ast}\to(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\ast}\) è un gruppo ciclico osservando che $1+p$ ha ordine $p^{r-1}$ in $W$. A me sembra che il nucleo dell'omomorfismo considerato sia \(\{\bar{1}, \overline{1+p},\overline{1+2p}...,\overline{1+(p^{r-1}-1)p}\}\), quindi di ordine $p^{r-1}$ (e perciò se il gruppo generato da $1+p$ ha ordine identico deve coincidere con esso), ma non mi sono riuscito a convincere che $p^{r-1}$ sia il minimo numero naturale $m$ per cui \((\overline{1+p})^{m}=\bar{1}\)...
Inoltre, dimostrato che \(W\subset(\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^{\ast}\) è ciclico*, non saprei proprio come vedere che anche \((\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^{\ast}\) lo è...
Qualcuno potrebbe tirarmi un salvagente...?
Grazie di cuore a tutti!!!
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*Cosa che avevo creduto di essere riuscito a fare: se solo ci fossero le soluzioni agli esercizi sul libro...
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Risposte
L'unico candidato omomorfismo canonico che mi viene in mente è quello di Frobenius:
\[
q=p^r,\,\varphi:x\in\mathbb{Z}_q^{\times}\to x^q\in\mathbb{Z}_q^{\times}
\]
intendi questo?
\[
q=p^r,\,\varphi:x\in\mathbb{Z}_q^{\times}\to x^q\in\mathbb{Z}_q^{\times}
\]
intendi questo?
Grazie, Armando! Il libro non la definisce... Direi si tratti di \( \mathbb{Z}_{q}^{\times}\to\mathbb{Z}_p^{\times} \) che manda la classe resto di $a$ modulo $p^r$ nella classe resto di $a$ modulo $p$... (o sbaglio 
)
)
Ho letto io male... è un bell'esercizio dimostrare che quella relazione è ben definita, è una funzione, ed è pure un omomorfismo di gruppi (abeliani). 
UPDATE: In generale siano \(\displaystyle n;m\in\mathbb{N}\) con \(\displaystyle m\) divisore di \(\displaystyle n\) allora:
\[
\varphi:[a]\in\mathbb{Z}_n\to[a]\in\mathbb{Z}_m
\]
è un omomorfismo di gruppi abeliani!
La dimostrazione la lascio come esercizio per chi interessato. ; )
UPDATE: In generale siano \(\displaystyle n;m\in\mathbb{N}\) con \(\displaystyle m\) divisore di \(\displaystyle n\) allora:
\[
\varphi:[a]\in\mathbb{Z}_n\to[a]\in\mathbb{Z}_m
\]
è un omomorfismo di gruppi abeliani!
La dimostrazione la lascio come esercizio per chi interessato. ; )
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