Ciclicità

[Kekec]

Ciao, un piccolo dubbio:

Sia $S$ un sottogruppo di $Z$ x $Z_8$ definito da { ( $14z$ , $[4w]mod8$) $ in $Z$ x $Z_8$ ], $z,w$ in $Z$}

a)Mostrare che S è un sottogruppo normale di $Z$ x $Z_8$.

S è un prodotto diretto di due gruppo ciclici ( ($<14>, <4>$)). Il gruppo derivante dal prodotto diretto di due gruppi ciclici rispettivamente di ordine $p$e $q$ è ciclico se e solo se $p$ e $q$ sono coprimi tra loro, ma in questo caso c'è $Z$ che ha ordine infinito, come faccio?

L'ordine di S, qual è? Infinito? E il gruppo quoziente $Z$ x $Z_8$ / $S$ è finito o infinito?

[duombo]

"Kekec":
S è un prodotto diretto di due gruppo ciclici ( ($<14>, <4>$)). Il gruppo derivante dal prodotto diretto di due gruppi ciclici rispettivamente di ordine $p$e $q$ è ciclico se e solo se $p$ e $q$ sono coprimi tra loro

ciao kekec mi dispiace ma non so rispondere alla tua domanda, vorrei approfittare per vedere se però ho capito una cosa rispetto a quanto hai quotato quindi se prendo il gruppo $ZZ_3 o+ ZZ_3$ è ciclico perchè 3 e 3 sono tra loro coprimi giusto??

[Lord K]

"Kekec":Ciao, un piccolo dubbio:

Sia $S$ un sottogruppo di $Z$ x $Z_8$ definito da { ( $14z$ , $[4w]mod8$) $ in $Z$ x $Z_8$ ], $z,w$ in $Z$}

a)Mostrare che S è un sottogruppo normale di $Z$ x $Z_8$.

S è un prodotto diretto di due gruppo ciclici ( ($<14>, <4>$)). Il gruppo derivante dal prodotto diretto di due gruppi ciclici rispettivamente di ordine $p$e $q$ è ciclico se e solo se $p$ e $q$ sono coprimi tra loro, ma in questo caso c'è $Z$ che ha ordine infinito, come faccio?

L'ordine di S, qual è? Infinito? E il gruppo quoziente $Z$ x $Z_8$ / $S$ è finito o infinito?

Se ci pensi un momento hai che:

[tex]S \sim 14\mathbb Z \times \mathbb Z_8 \sim \mathbb Z \times \mathbb Z_8[/tex]

da cui necessariamente [tex]|S|=\infty[/tex], il punto successivo è di osservare come è fatto:

[tex]\displaystyle \frac{\mathbb Z \times \mathbb Z_8}{14\mathbb Z \times \mathbb Z_8}[/tex]

direi che una idea di chi sia potrebbe essere è [tex]\mathbb Z_{14} \times e_{Z_8}[/tex]. Prova a fare qualche tentativo.