Ciclici di ordine pqr

[perplesso1]

Stavo studiando un pò il teorema che dice che un gruppo di ordine $ pq $ con $ p>q $ primi tali che $ p \ne 1 (mod q) $ è ciclico, così ho pensato che forse una teorema analogo si poteva costruire nel caso $ pqr $ e ho cercato di dimostrare questa proposizione ( ... che come tutte le mie congetture sicuramente risulterà sbagliata )

Siano $ p>q>r $ numeri primi tali che:

$ p \ne 1 (mod q) $
$ p \ne 1 (mod r) $
$ q \ne 1 (mod r) $
$ pq \ne 1 (mod r) $
$ pr \ne 1 (mod q) $
$ qr \ne 1 (mod p) $

Un gruppo $ G $ di ordine $ pqr $ è ciclico

Allora... i divisori di pqr sono $ {1,p,q,r,pq,pr,qr,pqr} $ il numero di p-sylow di $ G $ è del tipo $ 1+kp $ e divide $ pqr $ Si ha subito $ 1+kp \ne p,pq,pr,pqr $ altrimenti p sarebbe un divisore di 1. poi $ 1+kp \ne q,r $ perchè $ p>q>r $. Infine $ 1+kp \ne qr $ per ipotesi, quindi $ 1+kp = 1 $ e G possiede un unico p-sylow normale $ P $ di ordine p. Analogamente il numero dei q-sylow di G è $ 1+kq $. Come prima $ 1+kq \ne q,pq,qr,pqr $. Inoltre $ 1+kq \ne r $ perchè $ q>r $ e $ 1+kq \ne p,pr $ per ipotesi. Quindi $ 1+kq = 1 $ e G possiede un unico q-sylow normale $ Q $. Il numero degli r-sylow è $ 1+kr $. Ancora $ 1+kr \ne r,pr,qr,pqr $ e per ipotesi $ 1+kr \ne p,q,pq $ quindi c'è un unico r-sylow normale $ R $. Ora $ P,Q,R $ sono ciclici perchè hanno ordini $ p,q,r $, inoltre è ovvio che \(\displaystyle P \cap \langle Q,R \rangle = Q \cap \langle P,R \rangle = R \cap \langle P,Q \rangle = {{1}} \) e \(\displaystyle \langle P,Q,R \rangle = G \)e quindi $ G= P xx Q xx R $ è ciclico

[Studente Anonimo]

Ti segnalo questo. Dire che ogni gruppo di ordine [tex]n[/tex] è ciclico è equivalente a dire che [tex](n,\varphi(n))=1[/tex].

Tradotto nel tuo caso, siccome [tex]\varphi(pqr) = (p-1)(q-1)(r-1)[/tex], le tre ipotesi seguenti che fai:

$ pq ne 1 mod r $
$ pr ne 1 mod q $
$ qr ne 1 mod p $

sono superflue. Bastano le altre tre.

Ti segnalo anche questo.

[perplesso1]

Grazie, leggero con molto interesse