Chiusura algebrica di un campo
Salve avrei bisogno di un chiarimento sui seguenti concetti
Non riesco a capire la differenza fra i due, mi sembrano due concetti fin troppo simili. Grazie a chi risponderà
Siano $K,F$ campi. La chiusura algebrica di $K$ in $F$ è l'insieme $\tilde{K}$ degli elementi algebrici di $F$ su $K$
Sia $K$ un campo. Un'estensione $\overline{K}$ di $K$ si dice chiusura algebrica di $K$ se e solo se $\overline{K}$ è algebricamente chiuso e $\overline {K}$ è un'estensione algebrica di $K$
Non riesco a capire la differenza fra i due, mi sembrano due concetti fin troppo simili. Grazie a chi risponderà
Risposte
C'è innanzitutto una differenza concettuale: nel primo caso la chiusura di $K$ è un campo univocamente determinato (come sottocampo di $F$), mentre nel secondo si intende una qualsiasi estensione di $K$ con quelle due proprietà.
Detto questo, la differenza più grossa è che nel primo caso il campo che ottieni dipende anche da $F$, e in particolare potresti non ottenere un campo algebricamente chiuso, perché nessuno ti garantisce che ogni polinomio a coefficienti in $K$ abbia una radice in $F$. Se ad esempio $K=QQ$ e $F=RR$ ottieni il campo dei numeri reali algebrici su $QQ$, che però non soddisfa la seconda definizione (i polinomi di grado $2$ con discriminante negativo continuano a non avere radici). Questo problema però non si presenta se $F$ è algebricamente chiuso, perché in tal caso lo è anche la chiusura di $K$ in $F$ (esercizio facile), che quindi è una chiusura algebrica di $K$.
Detto questo, la differenza più grossa è che nel primo caso il campo che ottieni dipende anche da $F$, e in particolare potresti non ottenere un campo algebricamente chiuso, perché nessuno ti garantisce che ogni polinomio a coefficienti in $K$ abbia una radice in $F$. Se ad esempio $K=QQ$ e $F=RR$ ottieni il campo dei numeri reali algebrici su $QQ$, che però non soddisfa la seconda definizione (i polinomi di grado $2$ con discriminante negativo continuano a non avere radici). Questo problema però non si presenta se $F$ è algebricamente chiuso, perché in tal caso lo è anche la chiusura di $K$ in $F$ (esercizio facile), che quindi è una chiusura algebrica di $K$.
Due domande
Quando, in riferimento a $\tilde{K}$, dici che è univocamente determinato intendi per definizione (essendo definita come un insieme e non come un'estensione)?
Sempre con riferimento a $QQ$, chi è la sua chiusura algebrica? Non può essere l'insieme dei numeri algebrici reali né, credo, $CC$ perché $RR$ è già un'estensione trascendente di $QQ$...
Invece, per quanto riguarda $ZZ_{p}$ (curiosità mia) com'è la sua chiusura algebrica?
Infine, riguardo il tuo esercizio, potresti darmi un hint?
Grazie ancora
"spugna":
C'è innanzitutto una differenza concettuale: nel primo caso la chiusura di $K$ è un campo univocamente determinato (come sottocampo di $F$), mentre nel secondo si intende una qualsiasi estensione di $K$ con quelle due proprietà.
Quando, in riferimento a $\tilde{K}$, dici che è univocamente determinato intendi per definizione (essendo definita come un insieme e non come un'estensione)?
Sempre con riferimento a $QQ$, chi è la sua chiusura algebrica? Non può essere l'insieme dei numeri algebrici reali né, credo, $CC$ perché $RR$ è già un'estensione trascendente di $QQ$...
Invece, per quanto riguarda $ZZ_{p}$ (curiosità mia) com'è la sua chiusura algebrica?
Infine, riguardo il tuo esercizio, potresti darmi un hint?
Grazie ancora
"Cantor99":
Sempre con riferimento a $QQ$, chi è la sua chiusura algebrica? Non può essere l'insieme dei numeri algebrici reali né, credo, $CC$ perché $RR$ è già un'estensione trascendente di $QQ$...
Comunque riguardo questo potrei, forse fare così: noi, usando (senza dimostrarlo) il fatto che ogni campo $K$ ammette un'estensione $F$ algebricamente chiusa, abbiamo provato che la chiusura algebrica di $K$ in $F$ è algebricamente chiusa. Ne abbiamo dedotto che ogni campo ammette una chiusura algebrica
Ora, visto che $CC$ è un'estensione algebricamente chiusa di $QQ$, la chiusura algebrica di $QQ$ in $CC$ è la chiusura algebrica di $QQ$
"Cantor99":
[quote="spugna"]C'è innanzitutto una differenza concettuale: nel primo caso la chiusura di $K$ è un campo univocamente determinato (come sottocampo di $F$), mentre nel secondo si intende una qualsiasi estensione di $K$ con quelle due proprietà.
Quando, in riferimento a $\tilde{K}$, dici che è univocamente determinato intendi per definizione (essendo definita come un insieme e non come un'estensione)?[/quote]
Sì.
"Cantor99":
noi, usando (senza dimostrarlo) il fatto che ogni campo $ K $ ammette un'estensione $ F $ algebricamente chiusa, abbiamo provato che la chiusura algebrica di $ K $ in $ F $ è algebricamente chiusa
Questo è esattamente l'"esercizio facile" che avevo scritto nel messaggio precedente. Quindi sì, la chiusura algebrica di $QQ$ si può definire dentro $CC$.
Per quanto riguarda la chiusura algebrica di $ZZ_p$ servono alcuni fatti di base sui campi finiti: per ogni intero $d>=1$ si ha l'estensione $\mathbb{F}_{p^d} \supset ZZ_p$ di grado $d$, che contiene le radici di tutti i polinomi irriducibili di grado $d$, quindi $\overline{ZZ_p}$ deve contenere tutti gli $\mathbb{F}_{p^d}$ (a meno di isomorfismi); inoltre, poiché $\mathbb{F}_{p^d}$ ha un sottocampo isomorfo a $\mathbb{F}_{p^{d'}}$ se e solo se $d'$ è un divisore di $d$, è sufficiente che ci siano tutti gli $\mathbb{F}_{p^{m!}}$ al variare di $m$ tra gli interi positivi. A questo punto puoi prendere $\overline{ZZ_p}:=\bigcup_{m \in NN^+} \mathbb{F}_{p^{m!}}$, che è un'unione crescente (in realtà c'è un abuso di notazione perché $\mathbb{F}_{p^{m!}}$ non è davvero un sottocampo di $\mathbb{F}_{p^{(m+1)!}}$: per formalizzare si possono fissare delle mappe di inclusione $i_m:\mathbb{F}_{p^{m!}}\rightarrow \mathbb{F}_{p^{(m+1)!}}$ per poi definire definire $\overline{ZZ_p}$ come limite diretto). Questo campo è chiaramente un'estensione algebrica di $ZZ_p$, e resta da dimostrare che è algebricamente chiuso: ogni polinomio irriducibile di grado $d$, avendo un numero finito di coefficienti, è anche un polinomio a coefficienti in $\mathbb{F}_{p^k}$ per qualche $k$, quindi le sue radici stanno in $\mathbb{F}_{p^{kd}}$.
Grazie, sei stato chiarissimo nonché gentilissimo. In merito all'esercizio, come posso provare che la chiusura algebrica $\overline{K}$ è unica a meno di isomorfismi? Nel nostro corso abbiamo usato un laconico "si potrebbe dimostrare", però sono curioso ;D (s'è facile mi basta un hint altrimenti qualche chiacchiera informale)
Serve il lemma di Zorn: se $F_1$ e $F_2$ sono due chiusure algebriche di $K$, l'inclusione $K \rightarrow F_2$ si può estendere a un omomorfismo $\psi:F_1 \rightarrow F_2$, quindi si può supporre che $F_1$ sia un sottocampo di $F_2$. A questo punto si conclude per assurdo: cosa succede se esiste un $\alpha \in F_2 \setminus F_1$?
Potresti chiarire meglio come, con il lemma di Zorn, l'inclusione $K\to F$ si estende ad un omomorfismo $\psi :F_{1} \to F_{2}$?
Provo a rispondere alla tua domanda: se $\alpha\in F_{2}\backslash F_{2}$ allora $\alpha\in F_{2}$ e $\alpha\notin F_{1}$, cioè $\alpha$ è algebrico su $F_{2}$ ma non su $F_{1}$ e ciò dovrebbe essere assurdo perché $F_{1}$ è una chiusura algebrica!
Provo a rispondere alla tua domanda: se $\alpha\in F_{2}\backslash F_{2}$ allora $\alpha\in F_{2}$ e $\alpha\notin F_{1}$, cioè $\alpha$ è algebrico su $F_{2}$ ma non su $F_{1}$ e ciò dovrebbe essere assurdo perché $F_{1}$ è una chiusura algebrica!
"Cantor99":
Potresti chiarire meglio come, con il lemma di Zorn, l'inclusione $K\to F$ si estende ad un omomorfismo $\psi :F_{1} \to F_{2}$?
Quando vedi "lemma di Zorn", la prima cosa che devi pensare è come creare un insieme ordinato in cui un elemento massimale è quello che cerchi. Qui vuoi estendere $K \to F_2$ a $\psi : F_1 \to F_2$, quindi un'idea potrebbe essere di prendere l'insieme delle coppie $(L, \phi)$ dove $K \subseteq L \subseteq F_1$ è un campo intermedio e $\phi : L \to F_2$ è una funzione che estende $K \to F_2$ (cioè $phi$ ristretto a $K$ è $K \to F_2$). Questo insieme non è vuoto poiché contiene $(K, K \to F_2)$, e in particolare è ordinato in modo ovvio dicendo che $(L, \phi) \leq (L', \phi')$ se $L \subseteq L'$ e $\phi'$ ristretta a $L$ coincide con $\phi$. A questo punto:
(1) Col lemma di Zorn ottieni un elemento massimale $(M, \psi)$ (come?) e...
(2) Dimostri che deve essere $M = F_1$. Ma come? (Prova per assurdo.)
"Cantor99":
Provo a rispondere alla tua domanda: se $\alpha\in F_{2} \backslash F_{1}$ allora $\alpha\in F_{2}$ e $\alpha\notin F_{1}$, cioè $\alpha$ è algebrico su $F_{2}$ ma non su $F_{1}$ e ciò dovrebbe essere assurdo perché $F_{1}$ è una chiusura algebrica!
L'idea è giusta, ma in che modo usi il fatto che $F_1$ sia algebricamente chiuso? Non potrebbe capitare che $F_2$ abbia un sottocampo proprio anch'esso algebricamente chiuso contenente $K$?
Nota bene che qui abbiamo $K \to F_1$ e $K \to F_2$, e la mappa $\psi : F_1 \to F_2$ commuta con le due inclusioni.
Ciao fmnq. Provo a rispondere
Considero una parte $(\mathcal E, \subseteq)$ totalmente ordinata dell'insieme $\mathcal T$ delle coppie del tipo $(L,\phi)$, con $K\le L\le F_{1}$ e $\phi : L\to F_{2}$ un omomorfismo. Ora voglio trovare un maggiorante per $\mathcal E$. Sia
\[
T=\bigcup_{K\in \mathcal E} K
\]
Se $x,y\in T$ allora esistono $K_{1},K_{2}\in \mathcal E$ tali che $x\in K_{1}$ e $y\in K_{2}$. Poiché gli elementi di $\mathcal E$ sono confrontabili, posso supporre $K_{1}\le K_{2}$ e $x-y,xy^{-1}\in K_{2}$. Pertanto $x-y,xy^{-1}\in T$, cioè $T$ è un sottocampo di $F_{1}$ che contiene $K$.
Scelgo, poi, per ogni elemento $x\in T$ una funzione $\phi_{x} : L_{x} \to F_{2}$, ove $L_{x}\in \mathcal E$ è un elemento che contiene $x$. Visto che le funzioni di questo tipo sono tutte confrontabili, posso considerare l'applicazione
\[
\varphi : x\in T \to \phi_{x}(x)\in F_{2}
\]
Termino provando che $\varphi$ è un omomorfismo. Siano $x,y\in T$ e $K'$ un elemento di $\mathcal E$ che contiene $x$e $y$ : allora $xy,x+y\in K'$ e $\phi_{xy}$ e$\phi_{x+y}$ sono confrontabili con $\phi_{x}$ e $\phi_{y}$. Pertanto
\[
\varphi(xy)=\phi_{xy}(xy)=\phi_{xy}(x)\phi_{xy}(y)=\phi_{x}(x)\phi_{y}(y)=\varphi(x)\varphi(y)
\]
\[
\varphi(x+y)=\phi_{x+y}(x+y)=\phi_{x+y}(x)+\phi_{x+y}(y)=\phi_{x}(x)+\phi_{y}(y)=\varphi(x)+\varphi(y)
\]
Pertanto $(T,\varphi)$ è un maggiorante di $\mathcal E$ e l'insieme $\mathcal T$ è induttivo. Segue dal Lemma di Zorn che esiste un elemento massimale $(M,\psi)$.
Se fosse $M\ne F_{1}$ la coppia $(F_{1},\psi)$ sarebbe un elemento di $\mathcal T$ tale che $(M,\psi) < (F_ {1},\psi)$, che è assurdo per la massimalità di $(M,\psi)$. Questo, forse non troppo formalmente, dovrebbe essere ciò che intendeva spugna!
L'idea è giusta, ma in che modo usi il fatto che $F_1$ sia algebricamente chiuso? Non potrebbe capitare che $F_2$ abbia un sottocampo proprio anch'esso algebricamente chiuso contenente $K$?
Nota bene che qui abbiamo $K \to F_1$ e $K \to F_2$, e la mappa $\psi : F_1 \to F_2$ commuta con le due inclusioni.[/quote]
Qui penso di essere in alto mare
soprattutto perché non riesco a vedere il ruolo di $\psi$
"fmnq":
(1) Col lemma di Zorn ottieni un elemento massimale $(M, \psi)$ (come?) e...
Considero una parte $(\mathcal E, \subseteq)$ totalmente ordinata dell'insieme $\mathcal T$ delle coppie del tipo $(L,\phi)$, con $K\le L\le F_{1}$ e $\phi : L\to F_{2}$ un omomorfismo. Ora voglio trovare un maggiorante per $\mathcal E$. Sia
\[
T=\bigcup_{K\in \mathcal E} K
\]
Se $x,y\in T$ allora esistono $K_{1},K_{2}\in \mathcal E$ tali che $x\in K_{1}$ e $y\in K_{2}$. Poiché gli elementi di $\mathcal E$ sono confrontabili, posso supporre $K_{1}\le K_{2}$ e $x-y,xy^{-1}\in K_{2}$. Pertanto $x-y,xy^{-1}\in T$, cioè $T$ è un sottocampo di $F_{1}$ che contiene $K$.
Scelgo, poi, per ogni elemento $x\in T$ una funzione $\phi_{x} : L_{x} \to F_{2}$, ove $L_{x}\in \mathcal E$ è un elemento che contiene $x$. Visto che le funzioni di questo tipo sono tutte confrontabili, posso considerare l'applicazione
\[
\varphi : x\in T \to \phi_{x}(x)\in F_{2}
\]
Termino provando che $\varphi$ è un omomorfismo. Siano $x,y\in T$ e $K'$ un elemento di $\mathcal E$ che contiene $x$e $y$ : allora $xy,x+y\in K'$ e $\phi_{xy}$ e$\phi_{x+y}$ sono confrontabili con $\phi_{x}$ e $\phi_{y}$. Pertanto
\[
\varphi(xy)=\phi_{xy}(xy)=\phi_{xy}(x)\phi_{xy}(y)=\phi_{x}(x)\phi_{y}(y)=\varphi(x)\varphi(y)
\]
\[
\varphi(x+y)=\phi_{x+y}(x+y)=\phi_{x+y}(x)+\phi_{x+y}(y)=\phi_{x}(x)+\phi_{y}(y)=\varphi(x)+\varphi(y)
\]
Pertanto $(T,\varphi)$ è un maggiorante di $\mathcal E$ e l'insieme $\mathcal T$ è induttivo. Segue dal Lemma di Zorn che esiste un elemento massimale $(M,\psi)$.
"fmnq":
(2) Dimostri che deve essere $M = F_1$. Ma come? (Prova per assurdo.)
Se fosse $M\ne F_{1}$ la coppia $(F_{1},\psi)$ sarebbe un elemento di $\mathcal T$ tale che $(M,\psi) < (F_ {1},\psi)$, che è assurdo per la massimalità di $(M,\psi)$. Questo, forse non troppo formalmente, dovrebbe essere ciò che intendeva spugna!
"fmqn":
[quote="Cantor99"]Provo a rispondere alla tua domanda: se $\alpha\in F_{2} \backslash F_{1}$ allora $\alpha\in F_{2}$ e $\alpha\notin F_{1}$, cioè $\alpha$ è algebrico su $F_{2}$ ma non su $F_{1}$ e ciò dovrebbe essere assurdo perché $F_{1}$ è una chiusura algebrica!
L'idea è giusta, ma in che modo usi il fatto che $F_1$ sia algebricamente chiuso? Non potrebbe capitare che $F_2$ abbia un sottocampo proprio anch'esso algebricamente chiuso contenente $K$?
Nota bene che qui abbiamo $K \to F_1$ e $K \to F_2$, e la mappa $\psi : F_1 \to F_2$ commuta con le due inclusioni.[/quote]
Qui penso di essere in alto mare
soprattutto perché non riesco a vedere il ruolo di $\psi$
"Cantor99":
Se fosse $M \ne F_{1}$ la coppia $(F_{1},\psi)$ sarebbe un elemento di $\mathcal T$ tale che $(M,\psi) < (F_ {1},\psi)$, che è assurdo per la massimalità di $(M,\psi)$. Questo, forse non troppo formalmente, dovrebbe essere ciò che intendeva spugna!
Qui stai implicitamente assumendo che una coppia $(F_1, \psi)$ sia in $\mathcal{E}$, ma... Perché? Ciò che sarebbe ottimo dimostrare è che se $(M, \phi)$ è un elemento massimale in $\mathcal{E}$, allora deve necessariamente essere $M = F_1$. Prova per assurdo (supponiamo che $M$ sia strettamente contenuto in $F_1$, allora...).
"Cantor99":
Qui penso di essere in alto mare
Diamo i nomi alle cose: abbiamo le inclusioni $i : K \to F_1$ e $j : K \to F_2$, e abbiamo anche l'estensione $\psi : F_1 \to F_2$ tale che $\psi \circ i = j$. Quindi $\psi(F_1)$ è un sottocampo di $F_2$ che contiene l'immagine $j(K) = K$.
Il punto qui è che il morfismo $\psi$ conserva le relazioni algebriche degli elementi di $F_1$ dentro $F_2$. Più precisamente, il morfismo $\psi : F_1 \to F_2$ induce il morfismo di anelli di polinomi $\psi_\star : F_1[X] \to F_2[X]$ tale che
\[
\sum_{i=0}^n{a_i X^n} \mapsto \sum_{i=0}^n{\psi(a_i)X^n},
\]
e in particolare se $p(X) \in K[X]$, allora $\psi_\star(p(X)) = p(X)$.
A ciò aggiungiamo due fatti generali:
(i) Per un'estensione $K \leq F$ algebrica, per ogni $x \in F$ esiste un polinomio non nullo in $K[X]$ ucciso da $x$.
(ii) Per un campo $F$ algebricamente chiuso, per ogni polinomio $p(X) \in F[X]$ tutte le radici di $p(X)$ sono in $F$. A maggior ragione, se $F$ contiene $K$, ciò è vero per ogni polinomio in $K[X]$.
Da questi fatti otteniamo:
(1) Che l'estensione $K \leq \psi(F_1)$ è algebrica. (Perché?)
(2) Che $\psi(F_1)$ è un campo algebricamente chiuso. (Perché?)
(3) In tutta generalità, possiamo mostrare che se abbiamo una torre di campi $K \leq F \leq E$ dove le estensioni $K \leq E$ e $K \leq F$ sono entrambe algebriche (in realtà è sufficiente supporre che lo sia $K \leq E$) e $E$ e $F$ sono entrambi campi algebricamente chiusi, allora deve necessariamente valere $E = F$. (Perché?)
Quindi applicando la (3) al caso di $\psi(F_1)$, concludere che debba essere $\psi(F_1) = F_2$.
Ciao fmnq, grazie ancora. Riconosco che sia il momento di frenare la mia curiosità dato che trovo difficoltà a seguirti su alcuni punti. Inoltre, come da spirito, abbiamo fatto una bella chiacchierata
Per quanto riguarda la costruzione dell'elemento massimale ho commesso qualche errore? Potresti, infine, solo mostrarmi come concludere che $M=F_{1}$? Grazie mille
"Cantor99":
Grazie, sei stato chiarissimo nonché gentilissimo. In merito all'esercizio, come posso provare che la chiusura algebrica $ \overline{K} $ è unica a meno di isomorfismi? Nel nostro corso abbiamo usato un laconico "si potrebbe dimostrare", però sono curioso ;D (s'è facile mi basta un hint altrimenti qualche chiacchiera informale)
Per quanto riguarda la costruzione dell'elemento massimale ho commesso qualche errore? Potresti, infine, solo mostrarmi come concludere che $M=F_{1}$? Grazie mille
"Cantor99":
Per quanto riguarda la costruzione dell'elemento massimale ho commesso qualche errore? Potresti, infine, solo mostrarmi come concludere che $M=F_{1}$? Grazie mille
Eravamo fermi con l'insieme ordinato delle coppie $\mathcal{E}$ e un suo elemento massimale $(M, \psi)$. Se supponessimo $M \ne F_1$, si avrebbe $\alpha \in F_1 \setminus M$, che è algebrico su $M$ dato che l'estensione $M \leq F_1$ è algebrica (lo è $K \leq F_1$, quindi a maggior ragione anche $M \leq F_1$). Esiste quindi $p(X) \in M[X]$ un polinomio irriducibile non nullo ucciso da $\alpha$.
Qui potremmo osservare che, dato che $F_2$ è algebricamente chiuso, allora questo ha una radice per il polinomio $\psi_\star(p(X))$ (con la notazione del commento precedente) e, scegliendone una, diciamo $\beta \in F_2$, allora la funzione $\psi : M \to F_2$ ammette un'estensione $\psi' : M(\alpha) \to F_2$ indotta dall'assegnazione $\psi'(\alpha) := \beta$. In questo modo abbiamo ottenuto la coppia $(M(\alpha), \psi')$ in $\mathcal{E}$ strettamente maggiore di $(M, \psi)$, che è massimale, giungendo a una contraddizione.
Tuttavia non so se tu abbia abbastanza nozioni di teoria dei campi per sapere che quella $\psi'$ sia ben definita. Un riferimento per la dimostrazione è Fields and Galois Theory di Milne, capitolo 2, proposizione 2.1, punto (b).
Adesso so da dove iniziare, grazie ancora @fmnq 
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