Chiedo un aiuto su semplice dimostrazione
Ciao, cerco un aiuto per un esercizio lasciato dal libro senza soluzione
Si vuole dimostrare che ${d in NN : d|a e d|b}={d in NN : d|a e d|r}$ con a=bq+r frutto della divisione euclidea.
Ovviamente devo dimostrare la doppia inclusione, vorrei però chiedere se è corretta =>, mentre l'altra freccia è semplice essendo simile
La mia idea è che
$d|a e d|b$ per ipotesi, inoltre ho l'ipotesi $a=bq+r$ $=> d|b ed|(bq+r)$ (ho sostituito a) $=>$ d|r e d|a (dove ho scritto che d|r poiché se $d|b$ allora noto che d divide la somma $d|(bq+r)$ e dividendo b deve dividere anche r
GRazie per l'aiuto
Si vuole dimostrare che ${d in NN : d|a e d|b}={d in NN : d|a e d|r}$ con a=bq+r frutto della divisione euclidea.
Ovviamente devo dimostrare la doppia inclusione, vorrei però chiedere se è corretta =>, mentre l'altra freccia è semplice essendo simile
La mia idea è che
$d|a e d|b$ per ipotesi, inoltre ho l'ipotesi $a=bq+r$ $=> d|b ed|(bq+r)$ (ho sostituito a) $=>$ d|r e d|a (dove ho scritto che d|r poiché se $d|b$ allora noto che d divide la somma $d|(bq+r)$ e dividendo b deve dividere anche r
GRazie per l'aiuto
Risposte
Devi stare un po' più attento/a al linguaggio. L'impressione che dà la tua dimostrazione è di pasticciato.
Di fatto, la dimostrazione è una conseguenza del fatto che \(d|a \wedge d|b \Rightarrow d|(\alpha a + \beta b)\) per ogni \(\alpha,\beta\in\mathbb{Z}\). Per dimostrarlo basta scrivere \(a = da'\) e \(b = db'\), sostituire e infine applicare la proprietà distributiva del prodotto sulla somma. Nella tua dimostrazione ho avuto l'impressione che tu dessi questo fatto per scontato (insomma che fosse già stato dimostrato). Ma se è scontato allora basta osservare che \(r = a - bq\).
L'altro senso è in realtà falso. Infatti ricavi \(qb = a - r\). Per esempio, con \(b = 5\) e \(r = q = 3\) ricavo \(a = 18\). Si ha ovviamente \(3|18\) e \(3|3\) ma \(3\nmid 5\)
Di fatto, la dimostrazione è una conseguenza del fatto che \(d|a \wedge d|b \Rightarrow d|(\alpha a + \beta b)\) per ogni \(\alpha,\beta\in\mathbb{Z}\). Per dimostrarlo basta scrivere \(a = da'\) e \(b = db'\), sostituire e infine applicare la proprietà distributiva del prodotto sulla somma. Nella tua dimostrazione ho avuto l'impressione che tu dessi questo fatto per scontato (insomma che fosse già stato dimostrato). Ma se è scontato allora basta osservare che \(r = a - bq\).
L'altro senso è in realtà falso. Infatti ricavi \(qb = a - r\). Per esempio, con \(b = 5\) e \(r = q = 3\) ricavo \(a = 18\). Si ha ovviamente \(3|18\) e \(3|3\) ma \(3\nmid 5\)
Sì in realtà volevo correggerla ma è partita così e non ho più potuto modificare. Ho fatto la stupidaggine di non aver cliccato anteprima e mi scuso.
Ho capito quanto dici tuttavia mi sore ora un dubbio, vediamo se riesco a spiegarmi meglo ora:
1) $d|a ∧ d|b => d|a ∧ d|bq => d|(a+bq)$ ma $a+bq=r$ quindi $d|(a+bq)=>d|r$
(ovviamente dando già per dimostrato, come ho già fatto, che vale la proprietà $d|b =>d|bq$ e la proprietà della somma)
Questa dimostrazione l'ho capita leggendoti.
Ora, venedo alla mia di apertura, secondo te vale comunque?
2)Io dico $d|a ∧ d|b$ poiché ho anche che $a=bq+r$ io sostituisco a nella prima e ottengo: $d|bq+r ∧ d|b$ ora, dato che d|bq e d|bq+r sicuramente d|bq e d|r poiché divide la somma divide ciascuno degli addendi ed ho così trovato la tesi che d|r.
Ho capito quanto dici tuttavia mi sore ora un dubbio, vediamo se riesco a spiegarmi meglo ora:
1) $d|a ∧ d|b => d|a ∧ d|bq => d|(a+bq)$ ma $a+bq=r$ quindi $d|(a+bq)=>d|r$
(ovviamente dando già per dimostrato, come ho già fatto, che vale la proprietà $d|b =>d|bq$ e la proprietà della somma)
Questa dimostrazione l'ho capita leggendoti.
Ora, venedo alla mia di apertura, secondo te vale comunque?
2)Io dico $d|a ∧ d|b$ poiché ho anche che $a=bq+r$ io sostituisco a nella prima e ottengo: $d|bq+r ∧ d|b$ ora, dato che d|bq e d|bq+r sicuramente d|bq e d|r poiché divide la somma divide ciascuno degli addendi ed ho così trovato la tesi che d|r.
Chiedo scusa, ma vorrei solo capire se si fosse persa la risposta così la riscrivo nel caso
In generale non puoi dire che se \(d\mid (a+b)\) allora \(d\mid a \wedge d\mid b\). Nel tuo caso è vero perché \(d\) divide uno dei due addendi.
No certo in generale no, però ho anche l'ipotesi d|b, dunque ho che d|a e d|b sostituisco a=bq+r nella prima e ho che d|bq+r e d|b, quindi dividendo bq poiché divide b allora divide anche r.
Questo volevo dire se fosse corretto
Questo volevo dire se fosse corretto
Si certo, quello è corretto.
Mille grazie!
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