Chiarimento sui campi (campi ordinati)

[otta96]

Mi stavo chiedendo una cosa: esistono dei campi ordinati che sono anche algebricamente chiusi?

[spugna2]

No: in un campo ordinato i quadrati diversi da $0$ sono positivi, ma $-1 <0$, quindi $-1$ non può avere radici quadrate.

[otta96]

Ah credo di aver capito, vuoi dire che il polinomio $x^2+1$ non può avere radici giusto?

[killing_buddha]

Un teorema di Schreier dice che le seguenti condizioni sono equivalenti per un campo $F$:

1. $F$ possiede un ordine totale compatibile con somma e prodotto;
2. Non esistono radici in $F$ per nessun polinomio della forma $\sum_i X_i^2 -1$;
3. Non esistono radici in $F$ per nessun polinomio della forma $\sum_i X_i^2$.

[otta96]

Puoi spiegarlo meglio? Temo di non averlo capito...

[killing_buddha]

"otta96":Puoi spiegarlo meglio? Temo di non averlo capito...

Dici a me? Te lo dimostro:

3. $\Rightarrow$ 2. perché se riesci a scrivere $-1 = \sum x_i^2$ allora $\sum x_i^2 +1 = 0$ è una somma di quadrati. Viceversa, se $0=\sum x_i^2$ è una somma di quadrati di cui almeno uno non zero (condizione che mi è rimasta nelle dita mentre commentavo: appena finsco di scrivere qui edito), diciamo $x_k$, allora $-1 = \sum (x_i/x_k)^2$. E' poi classico che se $F$ è ordinato, i quadrati devono essere positivi.

Dimostrare che se valgono 2. o 3. allora $F$ può essere ordinato è più difficile (serve il lemma di Zorn per partizionare $F$ in tre parti di cui dichiarerai una essere i positivi —non hai scelta su chi deve essere questa classe, perché $1>0$ sta in una sola di loro—, mostrando poi che questo ordine è una congruenza ed è totale).

[otta96]

Si dicevo a te, ma mi sa che faccio prima a dirti quali sono i miei dubbi.
Se prendo ad esempio $RR$, la 1) è verificata, ma a me sembra che se considero il polinomio $x^2-1$, che ha radici $+-1$ questo funga da controesempio per 2), come se considero il polinomio $x^2$, che ha una radice doppia $0$, mi sembra un controesempio per la 3). Dove sbaglio?

[killing_buddha]

Ah, ho sbagliato un segno in 2,e in 3 c'è bisogno di chiedere radici non nulle. Il caldo...

[otta96]

Ok, ora ha senso, la dimostrazione non mi interesse nemmeno granchè, grazie a tutti quelli che sono intervenuti.