Chiarimento su una frase - Gruppi - Algebra 2

[fegem]

Rileggo gli appunti e trovo questa frase:

"Se N è normale in G allora non è vero che gli elementi di G commutano con i singoli elementi di N ma commutano con l'insieme N"

vuole intendere che gli oggetti di G non commutano con alcuni elementi di N ma con tutti, e quindi con N stesso, in virtù del fatto che essere Normale vuol dire gN=Ng? Giusto?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

No. $N$ è normale in $G$ se $gN=Ng$ per ogni $g in G$. Questo significa che per ogni $n in N$ esiste $m in N$ tale che $gn=mg$ (cioè $gng^{-1}=m in N$). In generale $n$ e $m$ sono diversi.

Quindi se N è normale in G in generale non è vero che ogni elemento di N commuta con ogni elemento di G.

[fegem]

Perfetto! Grazie mille!!!

[Oshawott277]

Credo che quella frase fosse l'ammonimento che di solito si fa parlando dei sottogruppi normali e cioè dire che $gN=Ng AA g\inG$ é ben diverso da dire che $ gn=ng AA g AAn\in G$.La prima é un'uguaglianza fra due insiemi, che non implica la seconda. Infatti ci sono numerosi esempi: Prendi il gruppo simmetrico $S_3$ e il sottogruppo di ordine 3 generato da $(123)$. É normale perche é,ad es, é l'unico sottogruppo di ordine 3 ma non é affatto vero che gli elementi di $S_3$ commutano con i suoi elementi.