Chiarimento dubbio su $S_4$
Faccio una domanda non difficile su $S_4$, il gruppo delle permutazioni di 4 elementi (poi forse ne farò anche un'altra... 
).
Devo provare che $S_4/N\cong S_3$, dove $N={\sigma \in S_4 \ | \ \sigma (1 \ 2)(3 \ 4) \sigma^{-1}=(1 \ 2)(3 \ 4)}={e,(1 \ 2)(3 \ 4), (1 \ 3)(2 \ 4),(1 \ 4)(2 \ 3)}$ è un sottogruppo normale (sottogruppo di Klein di ordine 4). Il libro mi dice che l'isomorfismo è definito dall'azione tramite coniugio di $S_4$ sull'insieme $N\ \\ \ {e}$.
Sarà banale, ma non riesco a capire il senso di questa affermazione. Mi date una mano? Grazie mille a chiunque mi risponderà!
).Devo provare che $S_4/N\cong S_3$, dove $N={\sigma \in S_4 \ | \ \sigma (1 \ 2)(3 \ 4) \sigma^{-1}=(1 \ 2)(3 \ 4)}={e,(1 \ 2)(3 \ 4), (1 \ 3)(2 \ 4),(1 \ 4)(2 \ 3)}$ è un sottogruppo normale (sottogruppo di Klein di ordine 4). Il libro mi dice che l'isomorfismo è definito dall'azione tramite coniugio di $S_4$ sull'insieme $N\ \\ \ {e}$.
Sarà banale, ma non riesco a capire il senso di questa affermazione. Mi date una mano? Grazie mille a chiunque mi risponderà!
Risposte
Ciao!
$N-{e}$ ha $3$ elementi, quindi l'azione di coniugio di $S_4$ su di esso definisce un omomorfismo $S_4 to S_3$. Il tuo libro sta dichiarando che questo omomorfismo è suriettivo e il suo nucleo è $N$. Che sia suriettivo è chiaro perché il coniugio non fa altro che "cambiare i nomi ai simboli" lasciando invariata la struttura ciclica. Che il nucleo sia $N$ è altrettanto chiaro: segue dalla definizione (se un elemento $sigma$ fissa $(12)(34)$ allora sta in $N$).
$N-{e}$ ha $3$ elementi, quindi l'azione di coniugio di $S_4$ su di esso definisce un omomorfismo $S_4 to S_3$. Il tuo libro sta dichiarando che questo omomorfismo è suriettivo e il suo nucleo è $N$. Che sia suriettivo è chiaro perché il coniugio non fa altro che "cambiare i nomi ai simboli" lasciando invariata la struttura ciclica. Che il nucleo sia $N$ è altrettanto chiaro: segue dalla definizione (se un elemento $sigma$ fissa $(12)(34)$ allora sta in $N$).
Grazie mille, ho poi trovato il tuo suggerimento spiegato ancora più dettagliatamente in una vecchia dispensa.
Alla faccia comunque, sarà che non conosco a fondo la teoria dei gruppi, ma non era così immediato...
Grazie ancora, ciao!
Alla faccia comunque, sarà che non conosco a fondo la teoria dei gruppi, ma non era così immediato...
Grazie ancora, ciao!
Infatti è utile per abituarsi a trattare queste cose come immediate. Per esempio io ho dovuto fare uno sforzo per liberarmi dall'impressione che quell'argomentazione fosse immediata. Ma tieni conto che ho fatto la tesi sui gruppi finiti..
Ciao alla prossima.
Ciao alla prossima.
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