Chiarimenti sulle funzioni
Ragazzi mi potete aiutare mi servono chiarimenti sulle funzioni. Purtroppo il libro non mi da i risultati e io non so se li risolvo bene. Mi potete rispondere a queste domande?
1) quando vado a sostituire per fare il calcolo per trovare l'immagine f(x) come devo fare se vicino all'insieme indicato trovo un numero. Come si risolve? Ad esempio:
k: x € 5Z "freccia" x(elevato alla seconda) € 25Z
io la risolvo in questo modo
sostituisco il valore nella x, poi moltiplico per 5. Poi faccio il quadrato del numero e lo moltiplico per 25. In questo modo va bene?
2) come si trova la controimmagine di un numero?
1) quando vado a sostituire per fare il calcolo per trovare l'immagine f(x) come devo fare se vicino all'insieme indicato trovo un numero. Come si risolve? Ad esempio:
k: x € 5Z "freccia" x(elevato alla seconda) € 25Z
io la risolvo in questo modo
sostituisco il valore nella x, poi moltiplico per 5. Poi faccio il quadrato del numero e lo moltiplico per 25. In questo modo va bene?
2) come si trova la controimmagine di un numero?
Risposte
"TT":
sostituisco il valore nella x, poi moltiplico per 5. Poi faccio il quadrato del numero e lo moltiplico per 25. In questo modo va bene?
Se è come nell'altro thread - il fatto che non aveva risposto nessun altro poteva dire che avevo ragione, ma non è detto sia così! - casomai "dividi" per $25$.
Non riscrivo daccapo perché sennò ripeterei le stesse cose che ho scritto nell'altro thread come ragionamento: però, come ho detto, io non so se è giusto o sbagliato perché non mi sono mai capitati esercizi del genere.
Se \(n \in \mathbb{N}\), allora \(n \mathbb{Z} := \{ nx : x \in \mathbb{Z} \}\), in altri termini \(n \mathbb{Z}\) indica la parte di \(\mathbb{Z}\) costituita da quegli elementi che sono multipli interi di \(n\).
Ora se ho ben capito abbiamo la seguente applicazione: \(k \colon x \in 5\mathbb{Z} \to x^{2} \in 25\mathbb{Z}\).
Ebbene questa applicazione prende i multipli di \(5\) e li eleva al quadrato ovvero prende gli elementi di \(\{0,\pm 5, \pm 10, \pm 15, \pm 20, \ldots\}\) e li eleva al quadrato sicché \(k(0)=0\), \(k(\pm 5)=25\), \(k(\pm 10)=100\)...
Quindi dato il generico \(x \in \mathbb{Z}\), questo va prima moltiplicato per \(5\) e poi il risultato va elevato al quadrato. Stop. Non occorre moltiplicarlo ancora per \(25\). Tutti i valori ottenuto sono multipli di \(25\), sicché in traccia è stato assegnato come codominio dell'applicazione \(25\mathbb{Z}\).
È però chiaro ed evidente che non tutti gli elementi di \(25\mathbb{Z}\) sono immagine di qualche elemento di \(5\mathbb{Z}\) secondo l'applicazione \(k\) (per esempio \(75 \in 25\mathbb{Z}\) non lo è ed inoltre non lo sono sicuramente quali elementi di \(25\mathbb{Z}\)?). Quindi come potremmo scrivere questa immagine? \(\text{Im}(k)=\{y \in 25\mathbb{Z} : \ldots\}\)
Ora se ho ben capito abbiamo la seguente applicazione: \(k \colon x \in 5\mathbb{Z} \to x^{2} \in 25\mathbb{Z}\).
Ebbene questa applicazione prende i multipli di \(5\) e li eleva al quadrato ovvero prende gli elementi di \(\{0,\pm 5, \pm 10, \pm 15, \pm 20, \ldots\}\) e li eleva al quadrato sicché \(k(0)=0\), \(k(\pm 5)=25\), \(k(\pm 10)=100\)...
Quindi dato il generico \(x \in \mathbb{Z}\), questo va prima moltiplicato per \(5\) e poi il risultato va elevato al quadrato. Stop. Non occorre moltiplicarlo ancora per \(25\). Tutti i valori ottenuto sono multipli di \(25\), sicché in traccia è stato assegnato come codominio dell'applicazione \(25\mathbb{Z}\).
È però chiaro ed evidente che non tutti gli elementi di \(25\mathbb{Z}\) sono immagine di qualche elemento di \(5\mathbb{Z}\) secondo l'applicazione \(k\) (per esempio \(75 \in 25\mathbb{Z}\) non lo è ed inoltre non lo sono sicuramente quali elementi di \(25\mathbb{Z}\)?). Quindi come potremmo scrivere questa immagine? \(\text{Im}(k)=\{y \in 25\mathbb{Z} : \ldots\}\)
Grazie G.D sei un fenomeno.
Quindi in poche parole se devo vedere se questa funzione è iniettiva, suriettiva o biettiva basta che vado a guardare il dominio e il codominio della funzione.
LA FUNZIONE E' INIETTIVA, MA NON SURIETTIVA.
Poi volevo sapere per trovare la controimmagine come faccio?. Mi pare che si trova in questo modo, ma non sono sicuro.
Ad esempio trovare la controimmagine di f(3).
Allora io prendo x(alla seconda) = 3. Quindi è uguale a x = più e meno 3 . Poi essendo che la controimmagine è un sottoinsieme di x∈5Z, allora scopro che 3 non appartiene perché non è multiplo di 5. Si fa in questo modo. ?
Quindi in poche parole se devo vedere se questa funzione è iniettiva, suriettiva o biettiva basta che vado a guardare il dominio e il codominio della funzione.
LA FUNZIONE E' INIETTIVA, MA NON SURIETTIVA.
Poi volevo sapere per trovare la controimmagine come faccio?. Mi pare che si trova in questo modo, ma non sono sicuro.
Ad esempio trovare la controimmagine di f(3).
Allora io prendo x(alla seconda) = 3. Quindi è uguale a x = più e meno 3 . Poi essendo che la controimmagine è un sottoinsieme di x∈5Z, allora scopro che 3 non appartiene perché non è multiplo di 5. Si fa in questo modo. ?
L'applicazione non è iniettiva.
Non è iniettiva perché ad esempio 5 non appartiene a 25Z.
Un'applicazione è iniettiva se e solo se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio. Quindi...
Non è iniettiva perché ci sono elementi distinti del dominio (come 10) che non corrispondono al codominio. Giusto?
1. \(10\) è distinto da chi? Da sé stesso? Quando si dice che un termine A è distinto da un termine B servono per l'appunto e come minimo i due termini A e B.
2. Che significa che non corrispondono al codominio? Gli elementi del dominio hanno un corrispondente nel codominio. Gli elementi del codominio possono essere i corrispondenti di qualche elemento del dominio.
2. Che significa che non corrispondono al codominio? Gli elementi del dominio hanno un corrispondente nel codominio. Gli elementi del codominio possono essere i corrispondenti di qualche elemento del dominio.
volevo dire che non è iniettiva perché ad esempio il valore 10 non appartiene al codominio. Il 10 del dominio corrisponde a 100 nel codominio.
1. Che \(10\) non appartenga al codominio è irrilevante: se dovesse mai accadere che, data un'applicazione di dominio \(S\) e codominio \(T\) l'immagine di un qualche elemento del dominio non dovesse appartenere al codominio allora ci troveremmo dinanzi ad un oggetto che non potrebbe proprio definirsi applicazione.
2. Non è che il \(10\) del dominio corrisponde a \(100\) nel codominio ma è che il \(100\) del codominio corrisponde al \(10\) del dominio oppure al \(10\) del dominio corrisponde il \(100\) del codominio; tuttavia, nuovamente, non è questo il motivo: se \(10\) non avesse un corrispondente non avresti proprio un'applicazione.
Ribadisco: un'applicazione è iniettiva se elementi diversi del dominio hanno la stessa immagine. E.g. l'applicazione valore assoluto non è iniettiva: \(\lvert +5 \rvert = \lvert -5 \rvert = +5\).
2. Non è che il \(10\) del dominio corrisponde a \(100\) nel codominio ma è che il \(100\) del codominio corrisponde al \(10\) del dominio oppure al \(10\) del dominio corrisponde il \(100\) del codominio; tuttavia, nuovamente, non è questo il motivo: se \(10\) non avesse un corrispondente non avresti proprio un'applicazione.
Ribadisco: un'applicazione è iniettiva se elementi diversi del dominio hanno la stessa immagine. E.g. l'applicazione valore assoluto non è iniettiva: \(\lvert +5 \rvert = \lvert -5 \rvert = +5\).
si ma non ho capito perché la funzione di prima non è iniettiva.
La funzione di prima manda i multipli di \(5\) nei loro quadrati ed i quadrati sono sempre non negativi.
In \(5\mathbb{Z}\) ci sono sia numeri positivi sia numeri negativi (oltre che lo zero), e.g. ci sono sia \(+25\) che \(-25\): ora la nostra applicazione manda \(+25\) in \(+625\) e manda anche \(-25\) in \(+625\). Ovvero accade che \(k(+25)=k(-25)=625\) ecco perché l'applicazione non è iniettiva. Per essere iniettiva deve accadere che ogni volta che due elementi del dominio sono diversi, devono essere diverse anche le loro immagini: \(+25 \neq -25\) ma hanno la stessa immagine, i.e. \(625\).
In \(5\mathbb{Z}\) ci sono sia numeri positivi sia numeri negativi (oltre che lo zero), e.g. ci sono sia \(+25\) che \(-25\): ora la nostra applicazione manda \(+25\) in \(+625\) e manda anche \(-25\) in \(+625\). Ovvero accade che \(k(+25)=k(-25)=625\) ecco perché l'applicazione non è iniettiva. Per essere iniettiva deve accadere che ogni volta che due elementi del dominio sono diversi, devono essere diverse anche le loro immagini: \(+25 \neq -25\) ma hanno la stessa immagine, i.e. \(625\).
ah si perché sono numeri interi, mi sono dimenticato dei numeri interi negativi. Grazie ancora. Quindi la funzione è suriettiva.
@G.D.
Ho visto la tua prima risposta a questo thread e ho capito che era un po' stupido come l'avevo scritto qui
viewtopic.php?p=809363#p809363
ma fortunatamente è intervenuto qualcun altro - nella fattispecie tu - in questo thread.
Ho visto la tua prima risposta a questo thread e ho capito che era un po' stupido come l'avevo scritto qui
viewtopic.php?p=809363#p809363
ma fortunatamente è intervenuto qualcun altro - nella fattispecie tu - in questo thread.
@TT
Nemmeno.
@Zero87
Tutti sbagliamo. Non preoccuparti.
Nemmeno.
@Zero87
Tutti sbagliamo. Non preoccuparti.
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