Chiarimenti su gruppi ciclici e sottogruppi ciclici

[cloe009]

Ciao a tutti,

ho dei dubbi riguardo alcuni concetti su gruppi e sottogruppi ciclici.
Andando per gradi, per adesso posto la parte di teoria che non mi è chiara, in seguito posterò l'esercizio.


Questa è la frase di teoria che non mi è chiara:

Sia \(\displaystyle g \) un elemento di un gruppo \(\displaystyle \left (G, \cdot \right ) \). Può succedere che per qualche \(\displaystyle h \in \mathbb{N} \) sia \(\displaystyle g^h = e \) (elemento neutro di \(\displaystyle G \)): questo accade certamente nel caso in cui \(\displaystyle G \) è finito. Infatti dovendo il sottogruppo \(\displaystyle \left \langle g \right \rangle = \left \{ g^i | i \in \mathbb{Z} \right \} \) essere finito, esisteranno due esponenti interi distinti \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \) \(\displaystyle \left ( s > t \right ) \) tali che \(\displaystyle g^s = g^t \) da cui, posto \(\displaystyle h=s-t \in \mathbb{N} \), sia ha \(\displaystyle g^h = e \).


spero possiate per cortesia aiutarmi,
grazie.

[Gi81]

E' una frase un po' lunga. Qual è il primo concetto con cui non ti trovi?
Sei d'accordo che $ = {g^i | i in ZZ}$ è finito?

[cloe009]

Non saprei,
considerando che \(\displaystyle i \in \mathbb{Z} \) se non erro si dovrebbe avere:
\(\displaystyle \left \langle g \right \rangle = \left \{..., g^{-1}, g^0, g^1, g^2, ...\right \} \)
da quello che ho scritto si potrebbe pensare giusto che sia infinito....

[vict85]

"cloe009":Non saprei,
considerando che \(\displaystyle i \in \mathbb{Z} \) se non erro si dovrebbe avere:
\(\displaystyle \left \langle g \right \rangle = \left \{..., g^{-1}, g^0, g^1, g^2, ...\right \} \)
da quello che ho scritto si potrebbe pensare giusto che sia infinito....

Un sottogruppo è prima di tutto un sottoinsieme. Il sottoinsieme di un insieme finito è finito?

[cloe009]

Sì, il sottoinsieme di un insieme finito è finito! Quello che avevo scritto prima nella mia risposta mi aveva tratto in inganno...

[cloe009]

Perciò riguardo l'ultima parte della frase,

esisteranno due esponenti interi distinti \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \) \(\displaystyle \left ( s > t \right ) \) tali che \(\displaystyle g^s = g^t \) da cui, posto \(\displaystyle h=s-t \in \mathbb{N} \), sia ha \(\displaystyle g^h = e \).

penso di avera capita, e cioè per esempio se ho:
\(\displaystyle (\mathbb{Z}_8, +) \) se considero \(\displaystyle 1 \) si ha \(\displaystyle 1 \cdot 0, 1 \cdot 1, ..., 1\cdot 7, 1 \cdot 8 \) ho \(\displaystyle 1 \cdot 0 = 1 \cdot 8 \) e quindi \(\displaystyle h = 8-0 = 8 \) e si ha \(\displaystyle 1 \cdot 8 = e = 0 \) cioè l'elemento neutro per l'addizione.

Ho dei dubbi riguardo un altro punto. Data la seguente proprietà dei gruppi ciclici:

Sia \(\displaystyle G = \) un gruppo ciclico di ordine \(\displaystyle n \). Allora
a) l'ordine di ogni suo sottogruppo è un divisore di \(\displaystyle n \);
b) per ogni divisore \(\displaystyle k \) di \(\displaystyle n \) esiste uno e un solo sottogruppo di \(\displaystyle G \) di ordine \(\displaystyle k \).

perchè ho in \(\displaystyle G = \) quel numero \(\displaystyle 1 \)? Non dovrebbe esserci \(\displaystyle e \)?
Così come scritto sopra non si ridurrebbe solamente al caso di \(\displaystyle (G, \cdot) \) dal momento che \(\displaystyle 1 \) è l'elemento neutro solamente di \(\displaystyle \cdot \)?

[vict85]

"cloe009":Perciò riguardo l'ultima parte della frase,

esisteranno due esponenti interi distinti \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \) \(\displaystyle \left ( s > t \right ) \) tali che \(\displaystyle g^s = g^t \) da cui, posto \(\displaystyle h=s-t \in \mathbb{N} \), sia ha \(\displaystyle g^h = e \).

penso di avera capita, e cioè per esempio se ho:
\(\displaystyle (\mathbb{Z}_8, +) \) se considero \(\displaystyle 1 \) si ha \(\displaystyle 1 \cdot 0, 1 \cdot 1, ..., 1\cdot 7, 1 \cdot 8 \) ho \(\displaystyle 1 \cdot 0 = 1 \cdot 8 \) e quindi \(\displaystyle h = 8-0 = 8 \) e si ha \(\displaystyle 1 \cdot 8 = e = 0 \) cioè l'elemento neutro per l'addizione.

Ho dei dubbi riguardo un altro punto. Data la seguente proprietà dei gruppi ciclici:

Sia \(\displaystyle G = \) un gruppo ciclico di ordine \(\displaystyle n \). Allora
a) l'ordine di ogni suo sottogruppo è un divisore di \(\displaystyle n \);
b) per ogni divisore \(\displaystyle k \) di \(\displaystyle n \) esiste uno e un solo sottogruppo di \(\displaystyle G \) di ordine \(\displaystyle k \).

perchè ho in \(\displaystyle G = \) quel numero \(\displaystyle 1 \)? Non dovrebbe esserci \(\displaystyle e \)?
Così come scritto sopra non si ridurrebbe solamente al caso di \(\displaystyle (G, \cdot) \) dal momento che \(\displaystyle 1 \) è l'elemento neutro solamente di \(\displaystyle \cdot \)?

La notazione sull'unità non è unica. A seconda dell'autore trovi \(\displaystyle 1 \) oppure \(\displaystyle e \).

[cloe009]

La notazione sull'unità non è unica. A seconda dell'autore trovi \(\displaystyle 1 \) oppure \(\displaystyle e \).

Grazie. perciò avevo capito bene. Si riferiva all'elemento neutro!


Vorrei ricevere ancora dei chiarimenti, considerando questo piccolissimo esempio:
\(\displaystyle G=\left ( \mathbb{Z}, + \right ) \)
\(\displaystyle X=\left \{1 \right \}: \langle 1 \rangle = \mathbb{Z} \)

perchè è tutto \(\displaystyle \mathbb{Z} \) ?


considerando la definizione di sottogruppo:

Un sottogruppo \(\displaystyle S \) di un gruppo \(\displaystyle (G, \cdot) \), è un sottoinsieme non vuoto di \(\displaystyle G \) che è esso stesso un gruppo rispetto alla medesima operazione di G.

perciò si ha che un sottogruppo :
- deve essere un sottoinsieme di \(\displaystyle G \);
- è un gruppo rispetto all'operazione di \(\displaystyle G \) (l'operazione in \(\displaystyle G \) ha: associatività, elem. neutro, inverso);
- per essere definito tale il sottogruppo deve: avere l'elem. neutro di \(\displaystyle G \), essere chiuso rispetto all'op. di \(\displaystyle G \), possedere l'inverso di ogni elem. del sottogruppo;

perciò se ho ben capito, stando a quello dichiarato prima, i seguenti dovrebbe essere un esempio di sottogruppo valido di \(\displaystyle G \), ad esempio:
\(\displaystyle \left \{ -1, 0, 1 \right \} \)
\(\displaystyle \left \{ -2, 0, 2 \right \} \)
ecc...

considerando la definizione di sottogruppo generato da X:

Sia \(\displaystyle G \) un gruppo e \(\displaystyle X \) un sottoinsieme di \(\displaystyle G \). Si definisce sottogruppo generato da X, il più piccolo sottogruppo di G contenente X.

stando a quello scritto nella definizione, il sottogruppo generato da \(\displaystyle X \) dovrebbe essere
\(\displaystyle \langle 1 \rangle = \left \{ -1, 0, 1\right \} \) e non tutto \(\displaystyle \mathbb{Z} \) ?

spero di ricevere per cortesia ancora ulteriori chiarimenti, grazie mille.

[cloe009]

effettivamente mi son resa conto che era abbastanza ovvio! sorry

Se dal sottogruppo che ho considerato io ad esempio \(\displaystyle \left \{ -1, 0, 1 \right \} \)vado a fare \(\displaystyle 1 + 1 = 2 \), questo risultato deve per forza essere interno al sottogruppo se tale deve essere, si estende all'infinito, perciò è tutto \(\displaystyle \mathbb{Z} \)