Chiarimenti su esempio sui semigruppi.

[bla99hf]

Salve,

ho il seguente esempio e ci sono alcuni piccoli punti a me poco chiari.

Se $A$ è un insieme, definiamo un'operazione $**$ su $A$ ponendo $a**b=a AA a,b \in A$. Allora $(A,**)$ è un semigruppo, perchè $AA a,b,c \in A$ si ha $(a**b)**c=a**c=a$ e $a**(b**c)=a**b=a$. Però se $|A|>=2$, il semigruppo $(A,**)$ non è commutativo, in quanto da $|A| >= 2$ segue che esistono in $A$ due elementi distinti $a,b$ e si ha $a**b=a != b=b**a$.


nell'esercizio si pone:
$a**b=a AA a,b \in A$

allora attenendomi alla posizione data si sostituisce $a**b = a$ e va bene. poi da $a**c$ si ottiene $a$... perchè?:
$(a**b)**c=a**c=a$

e lo stesso fa dopo con $b**c$ da dove si ottiene $b$...
$a**(b**c)=a**b=a$


è questa cosa che sicuramente sarà banale, che non ho capito.
se per cortesia potreste aiutarmi.

mille grazie!

[vict85]

Perché l'operazione è definita così... Non capisco cosa non capisci...

Prova a pensare l'operazione come una funzione e dimentica ciò che conosci dalle elementari...

[bla99hf]

come posizione ho solo $a**b=a$, perchè anche con $a**c$ ottengo $a$?

[pic2]

No, hai $a**b=a \forall a,b$ come ipotesi. I quantificatori servono proprio a questo! in pratica vale quella formula per ogni interpretazione di $a$ e di $b$, quindi anche per $a=a$ e $b=c$, che ti ritorna $a**c=a$.

[bla99hf]

è chiaro. Ti ringrazio!!