Chiarimenti su categorie duali
Voglio concentrarmi un'attimo sulle categorie opposte. Presa una categoria \(\mathcal C\), la categoria duale \(\mathcal C^\text{op}\) consiste degli stessi oggetti di \(\mathcal C\) (e fini qui niente di male) e per ogni oggetto $X,Y$ di \(\mathcal C\) si ha \(\hom^\text{op}(X,Y)=\hom(Y,X)\), e quindi delle stesse collezioni di morfismi di \(\mathcal C\). Quindi, se non sbaglio, sotto questi due punti di vista le due categorie sarebbero la stessa cosa. Le cose invece cambiano con le composizioni, dove in una sono\[(g,f) \mapsto gf\,,\] mentre nella duale\[(g,f) \mapsto fg\,.\] In definitiva la differenza tra una categoria e la sua duale sta nelle composizioni? Giusto?
Risposte
Si. Nella categoria duale, invertiamo la direzione dei morfismi e quindi l'ordine della composizione.
Quindi, se non sbaglio, sotto questi due punti di vista le due categorie sarebbero la stessa cosa.
No, non sono la stessa cosa: \(\bf Set\) e \({\bf Set}^\text{op}\) sono molto diverse (perché?).
È inutile che mi chiedi il perché. Il mio, se è un problema, è concettuale. Quindi, piuttosto correggimi qui.
"Indrjo Dedej":Altrimenti, ti ripeterei di nuovo quello che ho scritto all'inizio.
[...] la categoria duale \(\mathcal C^\text{op}\) consiste degli stessi oggetti di \(\mathcal C\) e per ogni oggetto $X,Y$ di \(\mathcal C\) si ha \(\hom^\text{op}(X,Y)=\hom(Y,X)\), e quindi delle stesse collezioni di morfismi di \(\mathcal C\) [allora degli stessi morfismi]. Quindi, se non sbaglio, sotto questi due punti di vista le due categorie sarebbero la stessa cosa.[...]
Dipende da cosa intendi con "gli stessi": globalmente, questo è vero, nel senso che
\[\hom(\mathcal C)=
\coprod_{X,Y\in \mathcal C} \hom(X,Y) = \coprod_{X,Y\in \mathcal C} \hom(Y,X) = \hom(\mathcal C^\text{op})
\] Del resto, la categoria degli insiemi non può essere equivalente (né tantomeno isomorfa) alla sua opposta, e il motivo è -tra tanti altri possibili motivi- che gli insiemi \(\hom_{\bf Set}(Y,\varnothing)\) e \(\hom_{\bf Set}(\varnothing, Y)\) sono molto diversi.
\[\hom(\mathcal C)=
\coprod_{X,Y\in \mathcal C} \hom(X,Y) = \coprod_{X,Y\in \mathcal C} \hom(Y,X) = \hom(\mathcal C^\text{op})
\] Del resto, la categoria degli insiemi non può essere equivalente (né tantomeno isomorfa) alla sua opposta, e il motivo è -tra tanti altri possibili motivi- che gli insiemi \(\hom_{\bf Set}(Y,\varnothing)\) e \(\hom_{\bf Set}(\varnothing, Y)\) sono molto diversi.
Riavvolgiamo il nastro...
Da definizione una categorie, tra le tante cose, consiste di per ogni oggetto \(X,Y\) di una collezione di frecce \(\hom(X,Y)\). Tutto innocuo e innocente. Se prendo due oggetti \(A\) e \(B\), allora sulla categoria in esame ci sono \(\hom(A,B)\) e \(\hom(B,A)\), dove quest'ultima è \(\hom^\text{op}(A,B)\). A dire: in \(\mathcal C\) ci sono gli oggetti e le frecce di \(\mathcal C^\text{op}\). Io adesso potrei rovesciare quello che ho fatto fino ad ora ed arrivare a: In \(\mathcal C^\text{op}\) ci sono gli oggetti e le frecce di \(\mathcal C\). Questo intendevo, con la "stessa cosa" se si considerano gli oggetti e le frecce. Riesco a farmi intendere?
Da definizione una categorie, tra le tante cose, consiste di per ogni oggetto \(X,Y\) di una collezione di frecce \(\hom(X,Y)\). Tutto innocuo e innocente. Se prendo due oggetti \(A\) e \(B\), allora sulla categoria in esame ci sono \(\hom(A,B)\) e \(\hom(B,A)\), dove quest'ultima è \(\hom^\text{op}(A,B)\). A dire: in \(\mathcal C\) ci sono gli oggetti e le frecce di \(\mathcal C^\text{op}\). Io adesso potrei rovesciare quello che ho fatto fino ad ora ed arrivare a: In \(\mathcal C^\text{op}\) ci sono gli oggetti e le frecce di \(\mathcal C\). Questo intendevo, con la "stessa cosa" se si considerano gli oggetti e le frecce. Riesco a farmi intendere?
Ad esempio, in \(\bf Set\) i morfismi sono funzioni; ma ben pochi morfismi di \({\bf Set}^\text{op}\) sono funzioni.
Il punto è che intuitivamente quel che vorresti dire è chiaro: ma formalmente, è una visualizzazione sbagliata che porta a non capire qual è la ragione profonda per cui pochissime categorie sono autoduali. E' quindi meglio evitare di pensare che in \(\mathcal C^\text{op}\) "ci siano le frecce di \(\mathcal C\)" (soprattutto perché, ripeto, formalmente questo non ha senso: pensa a un poset $P$ guardato come categoria; in quale senso i morfismi di \(P^\text{op}\) sono "gli stessi" di quelli di $P$ - e soprattutto, chi sono quelli di $P$?).
Il punto è che intuitivamente quel che vorresti dire è chiaro: ma formalmente, è una visualizzazione sbagliata che porta a non capire qual è la ragione profonda per cui pochissime categorie sono autoduali. E' quindi meglio evitare di pensare che in \(\mathcal C^\text{op}\) "ci siano le frecce di \(\mathcal C\)" (soprattutto perché, ripeto, formalmente questo non ha senso: pensa a un poset $P$ guardato come categoria; in quale senso i morfismi di \(P^\text{op}\) sono "gli stessi" di quelli di $P$ - e soprattutto, chi sono quelli di $P$?).
"caulacau":È questo appunto il mio problema concettuale. Adesso ho capito: non necessariamente passando da una categoria alla sua duale i morfismi sono dello stesso tipo. Adesso mi è più chiaro e sensato tutto. Grazie.
Ad esempio, in \(\bf Set\) i morfismi sono funzioni; ma ben pochi morfismi di \({\bf Set}^\text{op}\) sono funzioni. [...]è una visualizzazione sbagliata[...]
Mmmh... Ci ritorno ancora e ancora ma non riesco a digerire questa cosa. In questa frase \[\hom^\text{op} (X,Y) = \hom(Y,X)\] c'è scritto o no quello che ho detto io? Capisco che devo cambiare il verso delle frecce, ma questa affermazione non mi quadra. Non è che non riesco a digerire il concetto, non mi va giù per come è scritta. Forse dovrei abbandonare questo tipo di definizione...
Caso mai dovresti considerare una biezione
\[
\forall X,Y\in\mathrm{Ob}(\mathbf{C}),\,(\_)^{\vee}:\hom_{\mathbf{C}}(Y,X)\to\hom_{\mathbf{C}^{\vee}}(X,Y)
\]
tale che:
\[
\forall X,Y,Z\in\mathrm{Ob}(\mathbf{C}),\,f\in\hom_{\mathbf{C}}(X,Y),g\in\hom_{\mathbf{C}}(Y,Z),g\circ f\in\hom_{\mathbf{C}}(X,Z),\,(g\circ f)^{\vee}=f^{\vee}\circ g^{\vee}.
\]
Dove \(\displaystyle\dots\in\mathrm{Ob}(\cdot)\) ha un significato naïve, dato che il termine di destra non è detto che sia un insieme.
Per ulteriori dettagli, rimando al libro di MacLane - Categories for the working mathematician.
\[
\forall X,Y\in\mathrm{Ob}(\mathbf{C}),\,(\_)^{\vee}:\hom_{\mathbf{C}}(Y,X)\to\hom_{\mathbf{C}^{\vee}}(X,Y)
\]
tale che:
\[
\forall X,Y,Z\in\mathrm{Ob}(\mathbf{C}),\,f\in\hom_{\mathbf{C}}(X,Y),g\in\hom_{\mathbf{C}}(Y,Z),g\circ f\in\hom_{\mathbf{C}}(X,Z),\,(g\circ f)^{\vee}=f^{\vee}\circ g^{\vee}.
\]
Dove \(\displaystyle\dots\in\mathrm{Ob}(\cdot)\) ha un significato naïve, dato che il termine di destra non è detto che sia un insieme.
Per ulteriori dettagli, rimando al libro di MacLane - Categories for the working mathematician.
"Indrjo Dedej":
Mmmh... Ci ritorno ancora e ancora ma non riesco a digerire questa cosa. In questa frase \[\hom^\text{op} (X,Y) = \hom(Y,X)\] c'è scritto o no quello che ho detto io? Capisco che devo cambiare il verso delle frecce, ma questa affermazione non mi quadra. Non è che non riesco a digerire il concetto, non mi va giù per come è scritta. Forse dovrei abbandonare questo tipo di definizione...
Il punto è solo questo: le funzioni da $Y$ a $X$ sono particolari relazioni da $X$ a $Y$. Questo significa che i morfismi di \({\bf Set}^\text{op}\) sono particolari morfismi di \(\bf Set\). Questo resta vero per una categoria astratta \(\mathcal C\), ossia i morfismi dell'opposta da X a Y sono morfismi di C da Y a X; ma da nessuna parte (e infatti è falso) viene stabilita una equivalenza tra C e la sua opposta.
Allora...
Se in \(\mathbf{Set}\) i morfismi sono funzioni tra insiemi, allora in \(\mathbf{Set}^\text{op}\) sono relazioni, questo ho compreso. Ed è giusto, no? Ora \(\hom(A,B)\), dati due oggetti \(A\) e \(B\) di \(\mathbf{Set}\), è una collezione di funzioni. Passando dalla categoria opposta, \(\hom^\text{op}(B,A)\) consiste di relazioni, tra le quali vi sono relazioni che non sono funzioni. E qui come faccio dire l'uguaglianza\[\hom^\text{op}(B,A)=\hom(A,B)\] quando a sinistra abbiamo anche relazioni non funzioni e a destra abbiamo solo funzioni?
Una descrizione come quella riportata da j18eos potrebbe essere la migliore via. Perché ho notato tra l'altro cercando informazioni sulle categorie opposte, si introduce questa nozione non usando quell'uguaglianza, ma usando locuzioni del tipo "si inverte il senso delle frecce", l'opposto di un morfismo \(a \rightarrow b\) è \(a \leftarrow b\), ...
Allora due sono le cose:
(1) i morfismi di una categoria e della sua opposta sono della "stessa natura" (i.e. funzioni in \(\mathbf{Set}\) e funzioni di nuovo in \(\mathbf{Set}^\text{op}\), omomorfismi in \(\mathbf{Grp}\) e omomorfismi ancora in \(\mathbf{Grp}^\text{op}\), etc... solo con dominio e codominio scambiati di ruolo)
(2) l'opposizione è un formalismo che fa comodo e ad esempio passando da \(\mathbf{Set}\) a \(\mathbf{Set}^\text{op}\) si passa da funzioni a qualcos'altro, in questo caso relazioni.
Quale delle due? La prima conferma quello che dicevo dall'inizio, la seconda è quello che ho capito da quel tuo intervento.
"caulacau":
Ad esempio, in \( \bf Set \) i morfismi sono funzioni; ma ben pochi morfismi di \( {\bf Set}^\text{op} \) sono funzioni.
Se in \(\mathbf{Set}\) i morfismi sono funzioni tra insiemi, allora in \(\mathbf{Set}^\text{op}\) sono relazioni, questo ho compreso. Ed è giusto, no? Ora \(\hom(A,B)\), dati due oggetti \(A\) e \(B\) di \(\mathbf{Set}\), è una collezione di funzioni. Passando dalla categoria opposta, \(\hom^\text{op}(B,A)\) consiste di relazioni, tra le quali vi sono relazioni che non sono funzioni. E qui come faccio dire l'uguaglianza\[\hom^\text{op}(B,A)=\hom(A,B)\] quando a sinistra abbiamo anche relazioni non funzioni e a destra abbiamo solo funzioni?
Una descrizione come quella riportata da j18eos potrebbe essere la migliore via. Perché ho notato tra l'altro cercando informazioni sulle categorie opposte, si introduce questa nozione non usando quell'uguaglianza, ma usando locuzioni del tipo "si inverte il senso delle frecce", l'opposto di un morfismo \(a \rightarrow b\) è \(a \leftarrow b\), ...
Allora due sono le cose:
(1) i morfismi di una categoria e della sua opposta sono della "stessa natura" (i.e. funzioni in \(\mathbf{Set}\) e funzioni di nuovo in \(\mathbf{Set}^\text{op}\), omomorfismi in \(\mathbf{Grp}\) e omomorfismi ancora in \(\mathbf{Grp}^\text{op}\), etc... solo con dominio e codominio scambiati di ruolo)
(2) l'opposizione è un formalismo che fa comodo e ad esempio passando da \(\mathbf{Set}\) a \(\mathbf{Set}^\text{op}\) si passa da funzioni a qualcos'altro, in questo caso relazioni.
Quale delle due? La prima conferma quello che dicevo dall'inizio, la seconda è quello che ho capito da quel tuo intervento.
La seconda opzione...
Prova a considerare la categoria \(\displaystyle\mathbf{C}\) con due soli oggetti \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\), due frecce da \(\displaystyle x\) a \(\displaystyle y\) e una freccia da \(\displaystyle y\) a \(\displaystyle x\); oltre alle frecce "identità". Come descriveresti \(\displaystyle\mathbf{C}^{\vee}\)?
Prova a considerare la categoria \(\displaystyle\mathbf{C}\) con due soli oggetti \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\), due frecce da \(\displaystyle x\) a \(\displaystyle y\) e una freccia da \(\displaystyle y\) a \(\displaystyle x\); oltre alle frecce "identità". Come descriveresti \(\displaystyle\mathbf{C}^{\vee}\)?
Stessi oggetti, una freccia da $x$ a $y$ e due frecce da $y$ a $x$.
Non sono in grao di studiare seriamente l'argomento ora, però avevo visto una o due defs. tempo fa. Magari prendi il post con le pinze, ma intanto vedi se può renderti la cosa meno fumosa.
Dato un poset \( \left(X, {\leqq}\right) \), considera la categoria \( C=C(X,{\leqq}) \) avente come oggetti i punti di \( X \), e come hom-set di due oggetti \( x \) e \( y \) l'insime
\[
\hom_C(x,y):=\begin{cases}\left\{(x,y)\right\} & \text{se $x\leqq y$}\\ \emptyset & \text{sennò}\end{cases}
\] (La composizione la definisci in modo solito per rispettare la prorpietà antisimmetrica). Ora c'è \( f\in\hom_C(x,y) \) se e solo se \( x\leqq y \).
Allora \( C^{\mathrm{op}} \) è esattamente la categoria \( C(X,{\geqq}) \) dato che, per definizione, per una categoria qualsiasi \( A \), presi due oggetti \( x \) e \( y \) di \( A \) è \( \hom_{A^{\mathrm{op}}}(x,y):=\hom_A(y,x) \). (Nel senso che c'è una freccia tra \( x \) e \( y \) in \( C^{\mathrm{op}} \) se e solo se \( x\leqq y \)).
L'esempio è uguale in http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf, a pagina 24.
Lì l'autore definisce semplicemente la catgoria \( C^{\mathrm{op}} \) opposta di \( C \) come quella avente per hom-set \( \hom_{C^{\mathrm{op}}}(x,y) \) di due oggetti l'insieme \( \hom_C(y,x) \); ecc. per la composizione. Ossia una funzione \( x\to y \) di \( C^{\mathrm{op}} \) è pur sempre una funzione \( y\to x \) di \( C \), perché vale l'inclusione \( \hom_{C^{\mathrm{op}}}(x,y)\subset\hom_C(y,x) \). Gli oggetti sono uguali in entrambe, ma i loro nomi nella duale no, da come l'ho recepito io.
Dato un poset \( \left(X, {\leqq}\right) \), considera la categoria \( C=C(X,{\leqq}) \) avente come oggetti i punti di \( X \), e come hom-set di due oggetti \( x \) e \( y \) l'insime
\[
\hom_C(x,y):=\begin{cases}\left\{(x,y)\right\} & \text{se $x\leqq y$}\\ \emptyset & \text{sennò}\end{cases}
\] (La composizione la definisci in modo solito per rispettare la prorpietà antisimmetrica). Ora c'è \( f\in\hom_C(x,y) \) se e solo se \( x\leqq y \).
Allora \( C^{\mathrm{op}} \) è esattamente la categoria \( C(X,{\geqq}) \) dato che, per definizione, per una categoria qualsiasi \( A \), presi due oggetti \( x \) e \( y \) di \( A \) è \( \hom_{A^{\mathrm{op}}}(x,y):=\hom_A(y,x) \). (Nel senso che c'è una freccia tra \( x \) e \( y \) in \( C^{\mathrm{op}} \) se e solo se \( x\leqq y \)).
L'esempio è uguale in http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf, a pagina 24.
Lì l'autore definisce semplicemente la catgoria \( C^{\mathrm{op}} \) opposta di \( C \) come quella avente per hom-set \( \hom_{C^{\mathrm{op}}}(x,y) \) di due oggetti l'insieme \( \hom_C(y,x) \); ecc. per la composizione. Ossia una funzione \( x\to y \) di \( C^{\mathrm{op}} \) è pur sempre una funzione \( y\to x \) di \( C \), perché vale l'inclusione \( \hom_{C^{\mathrm{op}}}(x,y)\subset\hom_C(y,x) \). Gli oggetti sono uguali in entrambe, ma i loro nomi nella duale no, da come l'ho recepito io.
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